Спектральные представления непрерывных периодических сигналов. Изучение понятия спектра периодического сигнала

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 2

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Cтудент: Габриэлян А.                                       Преподаватель:

Факультет: АВТ                                              Доц.   Ю. И. Щетинин

Группа АТ-33                                                 

Новосибирск

2005

Цель работы:изучение понятия спектра  периодического сигнала, приобретение практических навыков вычисления и построения  графиков спектров   сигналов в  среде MATLAB.

1. Получение аналитически коэффициентов разложения в комплексный ряд Фурье данного сигнала. Построение  графиков амплитудного и фазового спектров сигнала.

                                       Рис.1 График сигнала

Ряд  Фурье  

В данном варианте задания дан спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, которая широко используется в системах различного назначения.

Найдем коэффициенты Фурье данного сигнала

Частота основной гармоники    , T=10 

Функция:

Коэффициенты комплексного  ряда  Фурье

.

 

Для  n = 0

В частности,                        

            Рис.2 График амплитудного спектра сигнала

Так как функция сигнала непрерывная, то амплитуды гармоник пропорциональны (1/k²).

Фазовый спектр данного сигнала нулевой, т.к. функция четная и b_k =0,а, отсюда следует .

2. Написание  и выполнение файла-сценария , позволяющего построение графиков амплитудного и фазового спектров сигнала

n1=1:15;

 cn=sin(pi/2.*n1)./(pi*n1).*(1+0.2.*exp(-j*pi*n1));

 n2=-15:-1;1

 c_n=sin(pi/2.*n2)./(pi*n2).*(1+0.2.*exp(-j*pi*n2));

 Cn=[c_n 0.6 cn];

 n3=[n2 0 n1];

 n=-15:15;

 figure(1), subplot(121),stem(n,abs(Cn))

 title('|Cn|')

 subplot(122),stem(n,angle(Cn))

 title('angle(c_n) in rad')

                                       Рис.3  Амплитудный и фазовый спектр сигнала

В данном сценарии была использована команда angle – возвращает фазу в радианах ,матрицы состоящей из комплексных   элементов.

3. Определение спектра Фурье сигнала с помощью функции fft() Matlab. Определение коэффициентов ряда Фурье для сигнала, заданного в п.2,  с помощью fft(), построение и сопоставление графиков амплитудного спектра по п.2 и п.3.

T=10;                           % период сигнала

t=-T:T/63:T;                       % временной интервал

    x=0.2+0.8*rectpuls(t-0,5)+0.8*rectpuls(t-10,5)+0.8*rectpuls(t+10,5); % генерирование сигнала

figure(1);

subplot(311), plot(t,x)       % график сигнала

title(' Graphic of signal')

axis([-10 10 0 1.5])

k=0:63;

% коэффициенты ряда Фурье

C= sin(pi/2.*k)./(pi*k).*(1+0.2.*exp(-j*pi*k));

% график амплитудного спектра

subplot(312),

stem(2*pi*k/T, abs(C));

title('|Cn|')

y=fft(x,64);% Дискретное преобразование Фурье сигнала

% график ДПФ

subplot(313), stem(2*pi*k/T, abs(y)/64)

xlabel('Angle(c_n) in rad')

title('|Cn| with proceed fft')

Рис. 4- Сигнал, амплитудный спектр и угловая частота.

fft(Х)- это дискретное преобразование Фурье вектора Х.Для матриц ,процедура fft применяется к каждому столбцу. Для массива размерностью N-D данная процедура на первом не одноэлементном множестве.

Результаты данного пункта демонстрируют сходство графика амплитудного спектра, полученного при аналитическом построении, и графика этого спектра, построенного с помощью встроенной функции MatLab – fft().

4. Составление и выполнение файла-сценария для исследования сходимости ряда Фурье к исходному периодическому сигналу. Ознакомление со сходимостью  ряда  для четырех значений числа членов ряда и с явлением Гиббса.

T=10;

w0 = 2*pi/T;

t = -1.5*T:T/1000:1.5*T;

N = input('Number of harmonics    ');

c0 = 0.6;

x = c0*ones(1,length(t)); % dc component

for n=1:N,

cn = sin(pi/2.*n)./(pi*n).*(1+0.2.*exp(-j*pi*n));

c_n = conj(cn);

x = x + cn*exp(j*n*w0*t) + c_n*exp(-j*n*w0*t);

end

figure(2),    plot(t,x), grid

title(['N = ',num2str(N)])

 

Рис.5 График приближения сигнала при значении N=10

Рис.6 График приближения сигнала при значении N=20

                           Рис.7 График приближения сигнала при значении N=30

 

Рис.8 График приближения сигнала при значении N=30 (увелич.)

Явление Гиббса – это явление, связанное с появлением пульсаций при суммировании рядов Фурь

Можем сделать вывод ,что при увеличении числа членов ,пульсации становятся более узкими , но амплитуда их не уменьшается.

5. Выполнение задачи синтеза периодического сигнала, заданного в индивидуальном задании (п.2), с использованием пакета Simulink.

Построим модель Фурье-синтеза сигнала:

Графики синтеза сигнала с параметрами: амплитуда =3, частота = pi/8, 2*pi/8, 3*pi/8, 4*pi/8, 5*pi/8.

                          Рис. 9  - Вид S - модели Фурье-синтеза сигнала

       Рис. 10  - График всех сигналов через сумматор.

        Рис.11 График всех сигналов через мультиплексор.

Вывод: убеждаемся в том ,что при увеличении числа суммирующихся членов ряда Фурье, пульсации становятся более узкими.