Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Задачи  7

Лекционный материал  -  лекции №   15,  16.

1.  Решить следующее неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
 при начальных условиях .
Решение.
      Решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения y_c(t) (общего интеграла) и частного решения (частного интеграла) y_p(t).
      Вначале находим общее решение однородного ДУ.  Составляем характеристическое уравнение  , определяем его корни . Поскольку это характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексно сопряженных корней вида ,  то общий интеграл уравнения имеет вид . Для данного случая .

 Произвольные постоянные C₁ и  C₂ определяем по начальным условиям. Исходя из начальных условий,  получаем следующую систему уравнений для  C₁ и  C₂

из которой находим C₁=3 и  C₂=-1.   Поэтому общее решение ДУ  .

Частное решение уравнения определяем соответственно его правой части . При правой части уравнения  вида частное решение есть функция, отличающаяся от x(t) только числовыми коэффициентами. В данном случае a=0, b=3 и поскольку числа  не являются корнями характеристического уравнения, то частный интеграл записываем в виде .  Определяем производные первого и второго порядков этой функции
.
Подставляем  выражения  в исходное неоднородное ДУ и получаем равенство        .    Это равенство будет тождеством при равенстве коэффициентов у    в левой и правой части, т.е. когда

     Решая эту систему,  находим   A = 1,  B = -6.  Следовательно,
. 
     Таким образом, решение данного уравнения 
       .              График решения

2.  Является ли линейной и инвариантной во времени (стационарной) система с уравнением выход – вход
а)   

б)    ?

Решение.

а)  Для входных сигналов  x₁(t) и x₂(t)    выход  соответственно   .  Если входной сигнал , то выход

. Система удовлетворяет принципу суперпозиции, следовательно, - линейная.

            Положим вход системы в виде , при этом выход  .  Поскольку , то система – неинвариантная во времени (нестационарная).

б) Система с уравнением  .  Для входных сигналов x₁(t) и x₂(t)    выходные сигналы   и  . Для линейной комбинации входных сигналов   выход  , поэтому система – линейная. 

Система – стационарная, так как  

3.  Найти импульсную характеристику (ИХ) системы с уравнением
.
Решение.
      Для определения  ИХ  h(t) системы будем использовать метод, основанной на нахождении переходной характеристики g(t) системы и использовании простой связи между импульсной и переходной характеристиками,  т.е. .   Переходная характеристика системы будет определяться,  как решение дифференциального уравнения системы  при правой части , где u(t) -функция единичного скачка.
      Запишем левую часть исходного уравнения с правой частью   u(t)
                                     .                                                          (*)
Характеристическое уравнение   .  Его корень  .
Следовательно, решение однородного уравнения (*)     . 
     Найдем частное решение уравнения (*) при правой части  . При этом исходим из теоретических положений, определяющих, что для правой части ДУ в виде , где P(t) – многочлен, частное решение y_p(t) отличается от f(t) только числовыми  коэффициентами – константами. Для f(t)=u(t) частное решение будет иметь вид  . Подставим  y_p(t)  в уравнение (*), получим уравнение
, отсюда  .  Складывая общее решение однородного уравнения и частное решения уравнения (*), находим  решение в виде
 . Для определения значения константы A используем нулевые начальные условия, характерные для получения переходной характеристики,  а именно:
t = 0^-    g_a(0^-)=0.   Поэтому .  Следовательно,   .  Дифференцируя  g_a(t), получаем промежуточную составляющую искомой импульсной характеристики.                                      
    Подставим выражение h_a(t) в правую часть дифференциального уравнения системы для определения окончательного вида ИХ системы
. 
В этом выражении - это дельта-функция, возникающая из-за наличия в правой части исходного уравнения системы производной входного сигнала  . При этом  появляется необходимость  дифференцирования . Если в правой части исходного уравнения не будет производной, то и дельта – функции в выражении ИХ не будет.

4.  Получить дифференциальное уравнение, передаточную функцию, частотные характеристики, нули и полюса электрической цепи

Решение.

, выразим  ток в цепи через выходное напряжение  ,

при этом  ,    .  Уравнение  системы

.

Для указанных в условии номинальных значений элементов  .

Передаточная функция: возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения

,   .

Нуль передаточной функции  z = 0,     полюса 

Частотная характеристика цепи

.

Амплитудно – частотная характеристика  . 

Фазо – частотная характеристика  .

Графики

Вид АЧХ свидетельствует, что цепь представляет собой полосовой фильтр.

5.  Найти выходной сигнал  RC – цепи первого порядка, на вход которой поступает прямоугольный импульс x(t) с  амплитудой А и длительностью t_и.
                        

Решение.

Импульсная характеристика цепи  .

Запишем прямоугольный импульс в виде разности единичных ступенчатых функций

.

Выходной сигнал цепи

,

для           ,

для           

Второй, более простой вариант решения.

Переходная характеристика цепи    , для   

Для   

График  для    A=5,     τ = 0,5 ,   t_и = 5

6.  Вычислить свертку сигналов

Решение.

Воспользуемся геометрической трактовкой свертки: зеркальное отображение, сдвиг, перемножение, интегрирование.

Если , то h(-τ) не будет перекрываться с x(τ) и их произведение и интеграл равен нулю. Когда  площадь совместного перекрытия  сигналов линейно увеличивается (уменьшается) и интеграл свертки линейно растет (убывает), в интервале  площадь перекрытия функций не изменяется при смещении t и интеграл свертки – константа.

7.  Задана передаточная функция системы   . Найти область сходимости (ОС) передаточной функции, её полюса и нули и импульсную характеристику системы.
Решение.
     Найдем нули и полюса системы
Нули  ,

Полюса 
Полюсно - нулевое представление передаточной функции
.
Расположение полюсов, нулей и области сходимости передаточной функции














Разложим передаточную  функцию на простые дроби для упрощения перехода во временную область (вычисление обратного преобразования Лапласа от передаточной функции
. 
Обратные преобразования Лапласа  .
Поэтому  импульсная характеристика системы    

8.  Задана частотная характеристика системы    .  Найти её импульсную характеристику.
Решение.

Запишем H(jω)  в виде суммы элементарных дробей  

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях jω числителя H(jω), получаем

      Решая, получим      .

Отсюда 

.

Обратное преобразование Фурье   , поэтому импульсная характеристика

9.  Задана система с передаточной функцией    .

Найти полюса системы, определить отклик системы в установившемся состоянии на гармонический входной сигнал 

Решение.

Полюса системы 

Отклик системы H(s)  на гармонический вход  есть

.

При  частотная характеристика для ω = 10

,    поэтому

10.  Система состоит из последовательного соединения двух систем

Первая система имеет импульсную характеристику   . Для второй системы известно, что входному сигналу   соответствует выходной сигнал 

.  Найти
а)  частотную характеристику всей системы,
б)  дифференциальное уравнение системы,

      в)  Импульсную характеристику всей системы.
Решение.
Для последовательного соединения систем частотная характеристика  .
Частотная характеристика  первой системы   .
Для второй системы связь выхода и входа в частотной области  .
Частотный спектр выходного сигнала для заданного y(t)  
.  Частотный спектр входного сигнала системы 2  .

Найденные выражения спектров позволяют определить частотную характеристику системы 2   .
           Частотная характеристика всей системы   .
Отсюда связь выход – вход в частотной области для всей системы
.

По теореме дифференцирования преобразования Фурье
                                    .

Применяя это свойство к каждому члену предыдущего выражения, получаем дифференциальное уравнение системы
                                   .
Для получения импульсной характеристики представим  H(jω) в виде суммы простых дробей                   .
Беря обратное преобразование Фурье от каждой дроби  частотной характеристики, получаем импульсную характеристику системы
                              .

Задачи для самостоятельного решения

1.   Определите, является ли линейной и стационарной (инвариантной во времени) система с уравнением
а)  ,

      б)  ?
Ответ.   а)  Система линейная и нестационарная,  б)  система – нелинейная и стационарная

3. Определите импульсную характеристику цепи
                           
   Ответ.  .

4.  Система имеет переходную характеристику вида

.

На вход системы  подается сигнал вида

Определите выходной сигнал системы.

Ответ.  .

5.  Определите передаточную функцию, полюса, АЧХ и ФЧХ  RLC – цепи, изображенной на рис.

Ответ.  

5.  Дифференциальное уравнение  фильтра нижних частот (ФНЧ) второго порядка  Баттерворта имеет вид
,  где  ω_с –частота среза фильтра.
Найдите частотную характеристику фильтра и его АЧХ, постройте график АЧХ.
Ответ. 
            

6.  Ниже представлены две диаграммы нулей и полюсов системы

Запишите  выражения передаточной функции систем.

Ответ.  а)  ,     б)   .

7.  Передаточная функция системы имеет вид
.  Найдите полюса системы. Является ли система устойчивой?
Определите отклик системы на входной сигнал  .

Ответ.  . 

8.  Найдите выходной сигнал системы с импульсной характеристикой  и входным сигналом  .
Ответ.  

9.  Для цепи, изображенной на рис., определите передаточную функцию, частотные характеристики, импульсную характеристику. Операционный усилитель считайте идеальным

Ответ. 

10.  Линейная непрерывная стационарная система

имеет входной  сигнал  .
При этом выходной сигнал     .

Постройте графики входного и выходного сигналов, определите преобразование Фурье (спектр) выходного сигнала y(t), найдите частотную характеристику системы.

Ответ.