Линейные непрерывные стационарные системы. Вариант 7, страница 2

5.  Изучение зависимости АЧХ, ФЧХ и полосы пропускания фильтра от значений параметров схемы.

Понаблюдаем за поведением системы при изменении параметра R1.

R1=3000

Рис. 5. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при R1=3000.

R1=4000

Рис. 6. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при R1=4000.

R1=5000

Рис. 7. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при R1=5000.

Видим, что при увеличении сопротивления R1 меняется только амплитуда АЧХ, влияние на ФЧХ сопротивление R1 не оказывает. Полоса пропускания не изменилась.

R2=10000

Рис. 8. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при R2=10000.

R2=20000

Рис. 9. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при R2=20000..

R2=60000

Рис. 10. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при R2=60000..

R2=80000

Рис. 11. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при R2=80000..

Заметим, что при уменьшении сопротивления R2 амплитуда АЧХ стала меньше, полоса пропускания увеличилась. При увеличении R2 произошло противоположное.

С1=0.1 мкФ

Рис. 12. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при C1=0.1 мкФ.

С1=10 мкФ

Рис. 13. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при C1=10 мкФ.

С1=50 мкФ

Рис. 14. Графики АЧХ и ФЧХ заданного фильтра при C1=50 мкФ.

Заметим, что при увеличении емкости конденсатора появляется резонансный эффект. Система обладает резонансными свойствами с максимальным значением  АЧХ на частоте при С1=10 мкФ, при С1=50 мкФ.

График ФЧХ быстрее приближается к нулю с увеличением емкости. С ростом емкости С1 полоса пропускания данного фильтра уменьшается.

6.  Определение переходной и импульсной характеристик фильтра. 

Во временной области основными характеристиками системы являются её импульсная и переходная характеристики.

Импульсная характеристика системы - это реакция системы на входной сигнал в виде дельта - функции при нулевых начальных условиях.

Переходная характеристика системы – это реакция системы на входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях.

С помощью следующего script-файла построим графики переходной и импульсной характеристик заданного фильтра, используя функции step() и impulse().

C_num = [0 0 -2.5*10^6];

C_den = [1   1025   1.25*10^5];

step(C_num,C_den);

figure(2)

impulse(C_num,C_den);

Результаты представлены на рис. 8 и рис.9.

Рис. 8. График переходной характеристики фильтра.

Рис. 9. График импульсной характеристики фильтра.

Импульсная характеристика – реакция системы на входной сигнал в виде δ-функции при нулевых начальных условиях.

Они связаны между собой:

Обратное преобразование Лапласа передаточной функции системы является импульсной характеристикой данной системы, т.е. .

Найдём импульсную характеристику заданного фильтра аналитически, используя разложение её передаточной функции на простые дроби (выражение (12)).

С помощью таблиц преобразования Лапласа находим

  и     .

Преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е. если , то .

Поэтому импульсная характеристика фильтра имеет вид

                                                                                           (16)

С помощью следующего script-файла построим график импульсной характеристики фильтра по выражению (16).

t = 0: 0.0001: 2.5*10^(-3);

h = 3.3691*exp(-883.5206*t) – 3.3691*exp(-141.479*t) -2.5*10^6;

plot(t, h);

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Импульсная характеристика фильтра');

Полученный результат представлен на рис. 10.

Рис. 10. График импульсной характеристики фильтра по выражению (16).

Видим, что графики рис. 9 и 10 совпадают, значит, импульсную характеристику системы действительно можно получить как обратное преобразование Лапласа переходной функции системы.

7.Построение входного и выходного сигналов

Для гармонического сигнала возьмем частоту 100 Гц (данная частота входит в ПП).

b = [3.37 -3.37 -2.5*10^6];

a = [-883  -141 0];

t = linspace (0 , 0.03, 5000);

f = cos (200*pi*t);

lsim (b, a, f ,t),

set(gca, 'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize' ,12),

legend('выходной сигнал','входной сигнал');

При

Отклик системы H(s)  на гармонический вход  есть

.

Полученное теоретически значение фазового смещения отрицательное. Это означает, что амплитуда выходного сигнала отстает от входного на некую величину. Но это не наблюдается на графике, т.к. его величина очень мала.

Выводы:

1.  Основными характеристиками системы являются её передаточная функция, частотная, импульсная и переходная характеристики.

2.  Передаточная функция системы определяется как отношение преобразований Лапласа выходного и входного сигнала.

Передаточная функция связана с импульсной характеристикой системы через преобразование Лапласа,  т.е. . В п. 6 было показано, что график импульсной характеристики, полученной с помощью подачи на вход системы

 дельта – функции (рис. 9), совпадает с графиком, полученным как преобразование Лапласа импульсной  функции (рис. 10).

3.  Нули и полюса передаточной функции однозначно её определяют с точностью до коэффициента усиления K, что было показано в п.2 (выражение (11)).

4.  Частотная характеристика системы связана с импульсной характеристикой через преобразование Фурье, т.е. . Также данную характеристику можно получить заменой из передаточной функции системы заменой .

Зная частотную характеристику системы можно построить её АЧХ и ФЧХ. АЧХ характеризует изменение амплитуды гармоники при прохождении её через систему, ФЧХ – изменение фазы гармоники.