Проектирование автоматической системы слежения за направлением, страница 2

                                         (11)

                                         (12)

Тогда квадрат модуля комплексного коэффициента передачи (квадрат АЧХ):

                                                                 (13)

Преобразуя получаем:

          (14)

            Представим Кз²(ω) в виде:

                                           (15)

где     полиномы A_n(jω) и B_n(jω):

                                                         (16)

                                           (17)

где     n – порядок дифференциального уравнения, описывающего систему, для исследуемой системы n=2.

          (18)

            Коэффициенты полиномов:

                                                                                      (19)

                                                                                               (20)

                                                                                                        (21)

                                                                                              (22)

                                                                                                  (23)

Нахождение шумовой полосы системы и дисперсии шумовой ошибки сводится к вычислению интеграла:

                                                                                 (24)

т.к n=2 то:

                                                                                          (25)

Подставляя коэффициенты полиномов получаем:

                                                 (26)

            Шумовая полоса системы:

                                                                                                        (27)

            Дисперсия шумойвой ошибки:

                                                                                            (28)

Произведем оптимизацию системы по параметру K_u:

                                     (29)

                                                            (30)   

                              (31)

                                                             (32)

                                                                                              (33)

          Из последнего уравнения находим:

                                                                                            (34)

Оптимальное параметра K_u :

K_u=0,822

Оптимальное значение шумовой полосы:

                                                    (35)

Дисперсия шумовой ошибки и динамическая ошибка при K_u = K_{u_opt}:

                                                               (36)

                                                                                  (37)

Минимально достижимая ошибка слежения:

                                                                              (38)

Физический смысл существования оптимального значения полосы F_ш объясняется следующим. При малых значениях F_ш основной вклад в результирующую ошибку  вносит составляющая e_д, а при больших F_ш - шумовая составляющая σ_e. Поэтому существует оптимальное значение шумовой полосы F_шopt, при котором результирующая ошибка минимальна. Это можно увидеть из графиков зависимости ошибок слежения шумовой полосы системы:

                                                                            (39)

Рисунок 3. График зависимости ошибок слежения от шумовой полосы

системы

По графику видно, что минимальное значение результирующей ошибки будет при F_ш =0,54    . Это значение точно соответствует F_{ш_opt.}.

5 Задание 3

1) Построить ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы и определить по ним запас устойчивости по амплитуде и по фазе при оптимальном значении K_{u_opt}.

Определим запас устойчивости системы, используя метод логарифмических частотных характеристик, суть которого сводится к построению ЛАХ и ЛФХ разомкнутой следящей системы.

Коэффициент передачи разомкнутой системы:

                                                                                 (40)

Представим систему в виде трех последовательно соединеных типовых звеньев. АЧХ такой системы бедет:

                                                                     (41)

ЛАХ этой системы:

                    (42)

Рисунок 4. ЛАХ разомкнутой системы

ЛФХ этой системы:

                                                                             (43)

Рисунок 5. ЛФХ разомкнутой системы

Определим частоту среза ω_ср. Для этого приравняем к нулю формулу (42) и воспользуемся стандартными функциями для решения полученного уравнения:

          (44)

Определим запас устойчивости по фазе Δφ – это угол, равный:

                                                          (45)

Это удовлетворяет условию достаточного запаса устойчивости системы по фазе:  Δφ > 30°.

          Запас устойчивости по амплитуде не определяем т.к. отсутствует критическая частота.

6 Задание 4

1) Произвести моделирование следящей системы на ЭВМ при двух типах воздействия: а) ступенчатом; б) квадратичном; построить графики переходного процесса и определить качественные показатели системы в переходном режиме (быстродействие, перерегулирование).

При моделировании линейной непрерывной системы по ее передаточной функции, будем использовать метод билинейного преобразования. Суть его состоит в том, что непрерывные интегрирующие звенья, входящие в систему, заменяют дискретными интеграторами, осуществляющими интегрирование по методу трапеций.

Дискретная передаточная функция цифровой модели следящей системы, при использовании метода билинейного преобразования, получается из передаточной функции замкнутой непрерывной системы К_з(р) путем замены оператора непрерывного интегрирования: , где T - интервал дискретизации, выбираемый в соответствии с теоремой Котельникова из условия  (реально выбирается приблизительно на порядок меньше, чтобы исключить накопление ошибок из-за округления чисел).

Полученную в результате дискретной аппроксимации передаточную функцию цифровой модели необходимо представить в виде:

                      (46)

Этой передаточной функции соответствует разностное уравнение:

                                                                 (47)