Постановка задачи для тонкого однородного стержня длиной 0≤x≤3, одномерное уравнение теплопроводности

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра «Высшей математики»

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ЗАДАЧА №3

    Выполнил:

              ст-т гр. Р56-2

              Р.А. Матюшев

    Проверил:

    Н.В. Кузоватова

Красноярск 2008

Дан тонкий однородный стержень длиной  0<x<3, боковая поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение температуры u(x,t) в стержне, если его начальная температура u(x,0)=2x-3, левый конец стержня теплоизолирован, правый поддерживается при постоянной температуре u₂=.

Постановка задачи, одномерное уравнение теплопроводности, граничные и начальные условия:

Рассмотрим все возможные случаи:

Однородное уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми условиями:

граничные условия неоднородные, следовательно, метод Фурье не применим.

Сведем задачу с однородными краевыми условиями:

W(x) удовлетворяет стационарным уравнениям теплопроводности:

W(x) должно удовлетворять краевым условиям (1a,1b,1c)

C₁ и C₂ определяются из условий (2a,2b,2c)

Для (2a,2b,2c) имеем:

Перейдем к решению непосредственно нашей задачи:

W(x) должна удовлетворять уравнению с следующими краевыми условиями:

Решение этой задачи находится в виде (так как для многочлена не более второй степени вторая производная может равняться нулю):

Для нахождения второй функции v(x,t) поставим задачу с однородными краевыми условиями и решим ее:

Решение этой задачи найдем в виде:

Дифференцируем его по t и по х два раза:

Подставим в исходное и получим:

Разделим переменные:

Это равенство возможно, только если обе части не зависят от переменных и равны константе. Обозначим ее через минус лямбда:

Приведем к бездробному виду:

Накладываем граничные условия. Так как функция u(x,t) не может обращаться в ноль, то следовательно функция T(t) не может равняться нулю, как следствие граничные условия накладываются только на Х(х):

С учетом этого находим X(x) из уравнения:

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части. Составим для него характеристическое уравнение и решим его:

Рассмотрим все возможные решения:

- Случай первый, корни действительные, кратные (= 0):

То есть получается тривиальное решение.

- Случай второй, корни действительные разные (< 0):

Подставив в это равенство краевые условия, получим что коэффициенты А и В будут равны нулю, так как сумма двух положительных функций равняется нулю только если они обе равны нулю. Другими словами, также получаем тривиальное решение.

- Случай третий, корни комплексно-сопряженные (> 0):

Решение будет иметь вид:

Находим собственные значения, подставив граничные условия:

Таким образом, нетривиальное решение получается только в случае, если корни комплексно-сопряженные, и в нашем случае имеет вид:

Решаем уравнение  , это уравнение с разделяющимися переменными

Находим непосредственно функцию v(x,t) по следующей формуле:

Для V(x,t) подставим начальные условия

Это есть разложение функции  в ряд Фурье по косинусам, следовательно:

Искомая функция:

Решение, как сумма двух, выше найденных функций: