Обобщенные координаты, обобщенные силы

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Лекция 24

12. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ, ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ

Для введения понятия обобщенных координат рассмотрим плоский двойной математический маятник, состоящий из двух невесомых стержней длиной l1 и l2 с точечными массами m1 и m2 на концах (рис. 12.1). Система обладает двумя степенями свободы.

Рис. 12.1

Действительно стержень ОМ1 может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости движения хОу, а стержень M1M2 – вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку M1, в той же плоскости. Поэтому уравнения связей имеют вид: z1=0,z2=0,

Поэтому, так как n =2, а число уравнений связей k= 4, то S = 3n – k = 2, т.е. лишь две из шести декартовых координат являются независимыми и должны быть заданы. Остальные же координаты можно выразить из уравнений связей через независимые координаты.

На практике координаты х1, у1 z1, х2, у2 , z2 выражают через какие-либо независимые переменные другой природы, в нашем случае ими являются углы  и  отклонения стержней от вертикали:

х1 = l1×cosj1,                     y1 = l1×sinj1,                        z1=0;

      x2 = l1×cosj1 + l2×cosj2,    y2 = l1×sinj1 + l2×sinj2 ,        z2=0.        (12.1)

Здесь углы  и  играют роль независимых параметров, однозначно определяющих положение рассматриваемой механической системы.

Пусть теперь имеется система n материальных точек, на которую наложены k голономных связей, заданных уравнениями (10.2). Поскольку число степеней свободы равно S, то введем независимые переменные           q1, q2, ..., qs. Тогда для рассматриваемой системы соотношения (12.1) примут вид:

xn = xn ( q1, q2, ..., qs,,t);

уn = уn ( q1, q2, ..., qs ,t);     (n= 1, 2,…, n),

zn = zn ( q1, q2, ..., qs ,t);

или

( q1, q2, ...,  qs, t); (n = 1, 2,…, n).                  (12.2)

Отметим, что независимые координаты qm (m = 1, 2, …, s) – это не обязательно набор Sпеременных из числа декартовых координат xn, уn, zn. Ими могут быть переменные другой природы, так в приведенном выше примере вместо декартовых координат введены угловые координаты.

S независимых параметров  q1, q2, ..., qs однозначно определяющих положение точек материальной системы, совместимое со связями, называются  обобщенными координатами.

Производные от обобщенных координат по времени  называются обобщенными скоростями ( = dqm /dt).

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты: если qm – линейная величина, то  – линейная скорость; если qm – угол, то  – угловая скорость; если qm – площадь, то  – секторная скорость. Следовательно, понятие обобщенной скорости охватывает все известные нам понятия о скоростях.

          Для введения понятия обобщенных сил рассмотрим голономную систему, состоящую из nматериальных точек, на которые действуют соответственно силы , , ..., . Пусть система имеет S степеней свободы, и ее положение определяется обобщенными координатами q1, q2, ...,qs. Сообщим системе в фиксированный момент времени такое виртуальное перемещение, при котором обобщенная координата qm приобретает приращение dqm> 0, а остальные обобщенные координаты не изменяются. Тогда каждый радиус-вектор  получит виртуальное перемещение ()m, которое вычисляется как частный дифференциал:

(d)m = .                                              (12.3)

Согласно (10.9) виртуальная работа всех активных сил при вариации dqm обобщенной координаты qm запишется в виде:

где                                                                       (12.4)

Величину  называют  обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате qm. Если всем S обобщенным координатам в данный момент времени сообщить положительные приращения (вариации) dq1, dq2, ..., dqs, то полная виртуальная работа всех активных сил в обобщенных координатах

.         (12.5)

Из выражения (12.5) следует, что обобщенные силы представляют собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы. Проецируя (11.4) на декартовые оси, получим

.                (12.6)

Если все действующие силы  потенциальные, то их проекции Fnx, Fny, Fnz на декартовые оси могут быть выражены через потенциальную энергию П системы согласно формулам:

                               (22.7)

Подставив (12.7) в (12.6), получим:

          Для механической системы, находящейся в потенциальном силовом поле, обобщенная сила определяется взятой с обратным знаком частной  производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате:

.                                 (12.8)

Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты.

Пример 12.1. Определить обобщенную силу математического маятника весом , если длина нити равна l. За обобщенную координату взять угол отклонения j маятника от вертикали (рис. 12.2).

           

Рис. 12.2                                                   Рис. 12.3

Решение. Математический маятник является системой с одной степенью свободы (S = 1), так как для определения его положения достаточно задать один параметр.

Рассмотрим маятник в произвольном положении. За обобщенную координату q примем угол j. Активной силой, действующей на маятник, является сила тяжести .

Способ 1. Поскольку сила  потенциальна, то для определения обобщенной силы Q воспользуемся формулой (12.8). Для вычисления потенциальной энергии П маятника направим ось х по вертикали вниз, взяв за начало отсчета потенциальной энергии точку Оподвеса маятника, т.е. П(х=0)= 0. Потенциальная энергия маятника равна работе силы тяжести  на перемещении материальной точки из данного положения М в нулевое, т.е. П = –Р×х1 = –Р×l×cosj. Согласно (12.8)

Способ 2. Наиболее распространен-ным методом вычисления обобщенной силы является её определение  по формуле (11.4)  Qm = dAm/dqm. Сообщим маятнику в данный момент времени виртуальное перемещение dj> 0, т.е. в сторону возрастания угла j (рис. 12.3), и вычислим элементарную работу силы тяжести  на этом перемещении:

dA= – P×h×dj,

где h = l×sinj, – плечо силы  относительно центра вращения точки O. Следовательно,

Похожие материалы

Информация о работе