Обобщенные координаты, обобщенные силы, страница 2

dA = – P×l×sinj×dj.

Тогда

Q= dA/dj = – P×l×sinj.

ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

          Согласно принципу виртуальных перемещений (10.12), необходимым и достаточным условием равновесия голономной материальной системы, подчиненной идеальным связям, является равенство нулю виртуальной работы действующих активных сил, dA = 0. В обобщенных координатах для системы с S степенями свободы это условие с учетом (12.5) принимает вид

Q1dq1 + Q2dq2 +…+ Qsdqs = 0.                        (12.9)

Поскольку dq1, dq2, ..., dqs – независимые вариации обобщенных координат, то выражение (12.9) выполняется только тогда, когда все обобщенные силы одновременно равны нулю, т.е.

Q1 = 0,   Q= 0,  …, Qs  = 0.                            (12.10)

          Уравнения (12.10) выражают принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах: для равновесия материальной системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю.

          Если обобщенные силы зависят не только от обобщенных координат, но и от обобщенных скоростей  , , ..., , то в (12.10) все обобщенные скорости нужно приравнять нулю. Из (12.10) следует, что количество уравнений равновесия равно числу обобщенных координат, т.е. числу S степеней свободы системы.

          Для консервативной системы условия равновесия (12.10) имеют вид

          (m = 1, 2, …, s).                (12.11)

Полный дифференциал потенциальной энергии П(q1, q2, ..., qs) системы определяется выражением

dП(q1, q2, ..., qs) =

Следовательно, с учетом (12.11)

dП(q1, q2, ..., qs) =0.                                    (12.12)

Условие (12.12) означает, что в положении равновесия потенциальная энергия консервативной системы принимает экстремальное значение. Следовательно, решения системы уравнений (12.11) – (12.12) определяют обобщенные координаты,  соответствующие положению равновесия системы.

          Положение равновесия материальной системы может быть устойчивым и неустойчивым. Например, математический маятник (см. рис. 12.2) имеет два положения равновесия: согласно (12.10) Q = – P×l×sinj = 0, если  нижнее положение равновесия; и   верхнее положение равновесия. Очевидно, что верхнее положение равновесия маятника практически нельзя осуществить, оно является неустойчивым; нижнее положение легко реализуемо, это устойчивое положение равновесия.

Достаточные условия устойчивости положения равновесия для консервативной системы определяет теорема Лагранжа−Дирихле: если в положении изолированного равновесия консервативной системы с идеальными стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

          По теореме Лагранжа-Дирихле, для доказательства устойчивости равновесия консервативной системы достаточно убедиться в том, что потенциальная энергия в рассматриваемом положении минимальна. Для системы с одной степенью свободы минимум определяется тривиально: достаточно убедиться, что вторая производная от потенциальной энергии по обобщенной координате q, вычисленная в положении равновесия, положительна, т. е.

.                                       (12.13)

В частности для рассмотренного выше математического маятника , и для   , т.е. по теореме Лагранжа-Дирихле это состояние устойчивого равновесия маятника, а для  , что соответствует состоянию неустойчивого равновесия.

Пример 12.2 Однородная квадратная пластина может вращаться в вертикальной плоскости около оси, проходящей через точку O, вес пластины равен P, длина ее стороны a (рис. 12.4).

К углу A пластины привязана нить длины l, перекинутая через малый блок B, отстоящий на расстоянии a по вертикали от точки O.

Рис. 12.4

На нити весит груз  . Определить положения равновесия системы и исследовать их устойчивость.

Решение. Рассмотрим равновесие системы, состоящей из однородной квадратной пластины и груза, находящихся в однородном поле сил тяжести. Система имеет одну степень свободы, поэтому за обобщенную координату примем угол y, образованный стороной OA пластины с вертикалью. За начало координат берем точку O, направив ось  Z вверх, ось X вправо. Потенциальную энергию П будем отсчитывать от положения Z = 0 , т. е.

П(Z = 0) = 0.

На систему действует сила тяжести  пластинки, приложенная в ее геометрическом центре  C и сила тяжести груза  . Поэтому потенциальная энергия системы

П = PZ1 + GZ2,

где Z1 и Z2 – соответствующие координаты точки C и груза G. Выразим Z1 и Z2  через обобщенную координату y:

Z1 = (cos y – sin y);               Z2= a – l + 2a×sin .

Тогда

П =  P×a (cos y – sin y) + G (a – l + 2a×sin ).

или, поскольку G = P,

П =  [a (cos y – sin y) +  (a – l + 2a×sin )].

Для определения положений равновесия находим производную от потенциальной энергии по обобщенной координате и приравниваем ее нулю:

Из этого уравнения получим:

sin y + cos y = cos .

Возводим обе части уравнения в квадрат:

sin2 y +2sin y cos y +cos2 y = 2 cos2 ,

так как   sin2y + cos2y =1, а  2cos2 = 1 + cos yто получим

sin y×cos y = cos y

или

cosy (2×siny1) = 0.

Равновесие возможно, если cos y = 0 или sin y = 1/2, т. е. при четырех значениях угла y :

y1 = p/2,     y2 = 3p/2,   y3 = p/6,    y4 = 5p/6.

Для определения устойчивости каждого из этих положений находим вторую производную от потенциальной энергии по обобщенной координате:

Определим величину и знак этой производной для четырех значений угла:

1)   

2)   

3)   

4)    

Следовательно, согласно (12.13), положение равновесия системы устойчиво при  и , но неустойчиво при  и .

Вопросы для самопроверки

1. Сколько степеней свободы имеет футбольный мяч, находящийся в свободном полете?

2. Материальная система имеет одну степень свободы. Однозначен ли для нее выбор обобщенной координаты?

3. Как определяется обобщенная сила для материальной системы с одной степенью свободы, находящейся под действием только потенциальных сил?

4. От чего зависит размерность обобщенной силы?