Другие предметы \ Теория автоматического управления

Синтез систем управления механическим объектом, страница 2

num =

0 0.0000 5.0000 -0.0000 -49.0000

den =

1.0000 -0.0000 -58.8000 0 0

Num и den – это коэффициенты числителя и знаменателя ПФ соответственно.

plant=tf(num,den)

Transfer function:

2.218e-014 s^3 + 5 s^2 - 1.291e-013 s - 49

------------------------------------------

s^4 - 2.665e-015 s^3 - 58.8 s^2

Ошибки вычислений привели к появлению исчезающе малых коэффициентов. Однако некоторые из них привели к завышению степени полинома числителя, что является качественной ошибкой.

Отредактируем коэффициенты полиномов вручную.

num1=[5 0 -49];

den1=[1 0 -58.8 0 0];

plant=tf(num1,den1)

Transfer function:

5 s^2 - 49

--------------

s^4 - 58.8 s^2

Приведем передаточную функцию объекта к факторизованной форме.

zpk(plant)

Zero/pole/gain:

5 (s-3.13) (s+3.13)

-----------------------

s^2 (s-7.668) (s+7.668)

Знаменатель передаточной функции представляет собой характеристический полином, корни которого в точности равны собственным значениям матрицы А.

roots(den1)

ans =

7.6681

-7.6681

3. Синтез регуляторов.

3.1 Синтез регулятора состояния.

Пусть доступна текущая информация о векторе состояния V. Тогда алгоритм формирования управляющих воздействий запишется так:

В результате охвата объекта регулятором состояния, как это изображено на рисунке 3.1, получим замкнутую систему.

f V

Рис. 3.1 Замкнутая система с регулятором состояния

Если из уравнений системы

исключим переменную f , то получим дифференциальное уравнение замкнутой системы в форме пространства состояний.

Матрица системы должна иметь желаемые собственные значения, что обеспечивается выбором матрицы k (если пара А, В управляема).

Для выбора матрицы k имеется два подхода:

1. Размещение собственных значений;

2. Минимизация квадратичного функционала.

Выберем первый подход и назначим желаемые собственные значения в левой полуплоскости.

Здесь есть произвол. Выберем желаемые собственные значения ориентируясь на естественную динамику объекта.

p=[-1 -2 -3 -8]';

k=place(A,B,p)

k =

-0.9796 -24.5396 -4.7184 -1.9184

3.2 Синтез наблюдателя состояния объекта.

Регулятор состояния требует текущей информации о полном векторе состояния. Однако непосредственно измеряется только положение каретки х. Возникает задача вычисления в реальном времени остальных переменных . Недостаток текущей информации можно частично скомпенсировать за счет априорной информации о модели объекта.

Объект удовлетворяет необходимому и достаточному условию существования решения задачи синтеза наблюдателя – объект полностью наблюдаем.

На рисунке 3.2 изображена структурная схема наблюдателя Люенберга.

Рег. Сост.

f x

δx

- +

ЭС

Модель объекта

Рис. 3.2 Структурная схема наблюдателя Люенберга

Наблюдатель представляет собой следящую систему, целью которой является, чтобы:

При этом состояние модели стремится к состоянию объекта.

Роль регулятора в наблюдателе играет матрица L, для поиска которой можно применить метод размещения собственных значений и использовать те же алгоритмы и программные средства, что и для синтеза регулятора состояния.

Назначим желаемые собственные значения наблюдателя в левой полуплоскости (наблюдатель должен быть устойчив), причем несколько дальше от собственных значений, назначенных при синтезе регулятора состояния. Это обеспечивает большее быстродействие процессов наблюдателя.

Матрицу L получим по команде:

p0=[-10 -12 -14 -16]';

L=place(A',C',p0)'

L =

1.0e+003 *

0.0520

-0.2364

-1.8239

1.0628

3.3 Динамический регулятор.

Динамический регулятор представляет собой объединение статического регулятора состояния и наблюдателя, как это показано на рисунке 3.3.

f x

Динамический регулятор

Рис. 3.3 Структурная схема системы с динамическим регулятором

В результате получилась система с отрицательной обратной связью, как это показано на рисунке 3.4, где:

plant=ss(A,B,C,D);

[Ar,Br,Cr,Dr]=reg(A,B,C,D,k,L);

regulator=ss(Ar,Br,Cr,Dr);

Рис. 3.4 Замкнутая система с динамическим регулятором

Проведем анализ устойчивости замкнутой системы с динамическим регулятором (см. рис. 3.4):

sys=feedback(plant,regulator);

eig(sys)

ans =

-16.0000

-1.0000

-2.0000

-3.0000

-14.0000

-12.0000

-10.0000

-8.0000

Полученная замкнутая система имеет в точности заданные собственные значения.

3.4 Компьютерное моделирование системы «Нелинейный объект + линейный регулятор».

Единственным способом анализа сложных нелинейных моделей оказывается компьютерное моделирование.

Отредактируем модель объекта на языке программы MATLAB/Simulink, добавив динамический регулятор, как это показано на риунке 3.5.

Рис. 3.5 Система с динамическим регулятором

Динамический регулятор был синтезирован в предположении о малых отклонениях переменных от положения равновесия. Поэтому компьютерные эксперименты с заданной системой проводим для малых отклонений, т.е. в малых начальных условиях на интеграторах.

Целью компьютерных экспериментов является оценка области притяжения положения равновесия – определение максимальных отклонений маятника и каретки, при которых процесс затухает.

На рисунке 3.6 изображены переходные процессы при максимальном отклонении маятника, а на рисунке 3.7 переходные процессы при максимальном отклонении каретки.

Рис. 3.6 Переходные процессы при максимальном отклонении маятника

Рис. 3.7 Переходные процессы при максимальном отклонении каретки

3.5 Попытка расширения области притяжения положения равновесия.

Воспользуемся произволом в выборе желаемых собственных значений и для синтеза новых регуляторов:

1 – более быстрого;

2 – менее быстрого;

1. Увеличим собственные значения в два раза. На рисунках 3.8 и 3.9 показаны графики переходных процессов при максимальных отклонениях маятника и каретки соответственно.

p=2*p;

k=place(A,B,p);

p0=2*p0;

L=place(A',C',p0)';

[Ar,Br,Cr,Dr]=reg(A,B,C,D,k,L);

regulator=ss(Ar,Br,Cr,Dr);