Решение задач на переходные процессы, интеграл Дюамеля и спектральный метод

БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Расчетно-графическая работа №1

По дисциплине

Общая электротехника

Вариант 42.

                                                                                      Выполнил ст. гр. УИТ-22

                                                                                               Принял преподаватель

                                                                                                    “_____” ___________2005

2005

                                                        Задача №1 (Переходные процессы).

Дана электрическая цепь:

E, В	L, мГн	C, мкФ	R1	R2	R3	R4	Определить
150	2	5	4	10	5	6	I3

1. Классический метод.

1) Схема до коммутации:

Uc(0-)

Очевидно, что i_L(0-)=0; U_c(0-)=E=150 В.

По законам коммутации: i_L(0+)=0; U_c(0+)=150 В.

2) Принужденные значения (после коммутации):

   R_общ=R1+R3+R4=15 (Ом)

I_Lпр=E/R_общ=10 (А)

U_{c пр}= I_LпрR₃=50 (В)

Uc пр

                                                                                                           i_3пр=I_Lпр=10 A

 

3) Свободные составляющие:

I_Lсв(0)= i_L(0+)- I_Lпр=-10 А; U_{c св}(0)= U_c(0+)- U_{c пр}=100 В

4) Составляем характеристическое уравнение (ХУ) по входному сопротивлению схемы (Z_вх=0):

                                                                                                             Z_вх==

=10+ =100LCP²+

+25LP+500CP+150=

=10^-6P²+0.053P+150=0

D=0.053²-4*10^-6*150=2.156*10^-3

p₁=(-0.053+0.046)/2*10^-6=-3032; p₂=(-0.053-0.046)/2*10^-6=-49468

5) Решение для свободной составляющей:

I_3св(t)= A₁e^p(1)t+A₂e^p(2)t=A₁e^-3032t+A₂e^-49468t, определим А₁ и А₂.

6) Составим систему уравнений

i_{3 св}(t)=A₁e^p(1)t+A₂e^p(2)t и di_{3 св}(t)/dt=A₁p(1)e^p(1)t+A₂p(2)e^p(2)t

i_{3 св}(0)=A₁+A₂; di_{3 св}(0)/dt=A₁p₁+A₂p₂   (*)

7) Составим систему уравнений по законам Кирхгофа

По первому закону Кирхгофа получим IC св(t)+i3 св(t)-i1 св(t)=0 i1 св(t)-iL св(t)-i2 св(t)=0

По второму закону Кирхгофа получим I1 св(t)(R4+ R1)+i2 св(t)R2+ uС св(t)=0 i2 св(t)R2-L=0 uС св(t)-i3 св(t)R3=0

Возьмем производные от этих уравнений

                                

По второму закону Кирхгофа получим I1 св(0)(R4+ R1)+i2 св(0)R2+ i3 св(0)R3=0 (3) i2 св(0)R2-L=0 uС св(0)-i3 св(0)R3=0   (4)

Перепишем для t=0

1 ЗК:                                                                 

I_{C св}(0)+i_{3 св}(0)-i_{1 св}(0)=0 (1)

i_{1 св}(0)-i_{L св}(0)-i_{2 св}(0)=0  (2)

                        

Систему можно добавить уравнением:

; 

Из (4):   i_{3 св}(0)= u_{С св}(0)/R₃=20 (A)

Из (5): 

Из (1): I_{C св}(0)= i_{1 св}(0)- i_{3 св}(0)

Из (2):  i_{2 св}(0)= i_{1 св}(0)-i_{L св}(0)= i_{1 св}(0)+10

Из (3):  I_{1 св}(0)(R₄+ R₁)+ [i_{1 св}(0)+10]R₂+ i_{3 св}(0)R₃=0 или

             10 i1(0)+10 i1(0)+100+20*5=0;   i1_св(0)=-10 (A)

I_{C св}(0)= -10-20=-30(A)      = -1.2*10⁶

8) Вернемся к системе (*):

20=A₁+A₂

-1.2*10⁶= -3032A₁-49468A₂

A₁= -4.536

A₂=24.536

9) i_{3 св}(t)= -4.536e^-3032t+24.536 e^-49468t

i₃(t)= i_{3 св}(t)+ i_{3 пр}(t)=10 – 4.536 e^-3032t + 24.536 e^-49468t (A)

2. Операторный метод.

1) Найдем ток индукции и напряжение на емкости в цепи до коммутации (см. классический метод):

i_L(0-)=0; U_c(0-)=E=150 В. 

2) Составим схему замещения после (после коммутации).

Найдем i₃(P) МУП.

φ_B=0.

Для узла А: φ_A(g_C+g₃+g₁₄)- φ_cg₁₄= -(U_c0-/P)g_C-(E/P)g₁₄

Для узла C: φ_c(g₁₄+ g₁+g₂)- φ_Ag₁₄=(E/P)g₁₄-Li_10-                        (1)

, отсюда: g₁=, g₂=0.1, g₃=0.2, g₁₄=0.1, g_c=CP.

Подставляя эти значения в систему (1), получим:

Решим ее через определитель:

3) Переходим к оригиналу φ_A.

N(P)= = -3*10^-7 P²-3.75*10^-3 P-15

M(P)= =P(2*10^-9 P²+1.05*10^-4 P+0.3)

Найдем корни характеристического уравнения

P₀=0; 2*10^-9 P²+1.05*10^-4 P+0.3=0;

          D=8.625*10^-9

P₁= -3032

P₂= -49468

Решение φ_A при трех корнях:

φ_A(t)=

M^/(P)= 3*2*10^-9 P²+2*1.05*10^-4P+0.3

N(P₀)=-15                                        M^/(P₀)= 0.3

N(P₁)= -6.3874                                M^/(P₁)= -0.282

N(P₂)= -563.61                                 M^/(p₂)= 4.594

φ_A(t)= -50 +22.6816  e^-3032t - 122.68  e^-49468t

По закону Ома для участка цепи:  (φ_B=0, R₃=5 Ом), получаем:

i₃(t)= 10 – 4.536 e^-3032t + 24.536 e^-49468t (A)

3. Построим график i₃(t).

Конечное значение времени: , |p|_мин=-3032 – меньший по модулю корень ХУ

Интервал времени: [ 0, 10^-3 ]c

t	0	0,0001	0,0002	0,0003	0,0004	0,0005	0,0006	0,0007	0,0008	0,0009	0,001
i3(t)	30	6,8247	7,5277	8,1734	8,6512	9,0039	9,2645	9,4568	9,5989	9,7038	9,7813

t, c

I3, A

Задача №2 (Интеграл Дюамеля).

Дана электрическая схема:

                                    i₁        R

                                                                                           Определить U_R

                                               U_R            i₂                     i₃

                           U₁                                       C             R                        

 

U₁ – напряжение на входе, изменяющееся со временем по заданному закону U₁(t):

U₁

 

                    U_BX1=A-kt

A

                                           t₁                U_BX2=0

     t

0

                                              A/2

Подадим на вход испытательную функцию Хевисайда 1(t) = 1/p. Рассчитывать искомую величину будем  операторным методом при нулевых начальных условиях (внутреннее ЭДС конденсатора равно нулю)

                                  I₁(P)        R

 

                                                                             

 

                                    1                                                                         1            

                       p                                             Cp       R                        

                                                

U_R(P)=i(P)R=;    

U_R(P)=;   

M(P)=p(RCp+2)=0; N(P)=RCP+1

 p₀=0;  p₁=; M΄(P)=2RCP+2

N(P₀)=1;  M΄(P₀)=2;

N(P₁)=-1; M΄(P₁)=-2;

Перейдем к оригиналу: U_R(t)==h(t) – переходная функция по напряжению.

Запишем интеграл Дюамеля для участка от 0 до t₁ (функция показывает напряжение в момент t):

      U_BX1(t)=U₁=A-kt– из графика      U_BX1΄(t)=-k= U_BX1΄(τ)

h(t-τ)=

Запишем интеграл Дюамеля для участка от t₁ до ∞

h(t-t₁)=

U_BX2 (t)=0;   U_BX2΄(t)=0; =0

Задача №4 (Спектральный метод).

Получить спектр функции |U(jω)|

Заданы аналитическое выражение и график для импульса.

 

     U(t)=U₀e^-αt

α=50 (1/c); U₀=150 В

1. Получение аналитического выражения для модуля и аргумента спектра функции.

По таблице  Заменим p на jω:

2. Представим  как функцию безразмерной величины ω/α

=; 

3.Построим график == в функции от ω/α

                                                                                                          ω/α