Расчет замкнутой системы III порядка, страница 2

–B_o*K_p*(T_y*s+1)*M_H(s)

Подставим значения и применим обратное преобразование Лапласа, где S=:

0,09*y```(t) + y``(t) + y`(t) + 2,33*y(t) = 2,33*g(t)

или, разделив на 2,33 , получим:

0,039*y```(t) + 0,43*y``(t) + 0,43*y`(t) + y(t) = g(t)

4.2.С помощью обратного преобразования Лапласа найти переходную и весовую функции

Положим М_Н(t) = 0, тогда передаточная функция системы равна :

W(s) =    или  

Пусть на вход системы подается воздействие g(t) = 1(t) – скачок , тогда при обратном преобразовании Лапласа Y(s) будет изображением переходной функции H(s), тогда :

H(s) =  , где g(t) = 1(t)  G(s) =

Запишем характеристическое уравнение :

 = 0

Найдем его корни :

S₁ = 0;

 = 0  или   a = 0

Сделаем замену, s= y -  

p =    ;   q =

Q =  = 859,8

Т.к. Q > 0, то  α =      ;    β =     

y₂ = α + β   ;    

y_3,4 =  ;

y₂ = -6,6;

y₃ = 3,3 +1,5*i ;

y₄ = 3,3 -1,5*i;

Тогда,

S₂ = y₂ -  = -10,3 ;

S₃ = y₃ -  = -0,4 + 1,5*i ;

S₄ = y₄ -  = -0,4 - 1,5*i;

Тогда, H(s) =

Используя обратное преобразование Лапласа найдем переходную функцию:

h(t) =

t	h(t)
0	0
1	0, 69
2	1,4
3	1,2
6	1,1
10	1,01

График переходной функции

Зная переходную функцию, найдем функцию веса:

w(t) = h`(t)

w(t) = 0,021* + 0,02* - 0,06*+0,12*+0,04*

5.Частотные характеристики

5.1.АФЧХ

Т.к. Y(s) = G(s)*- M_H(s)*

то, передаточная функция САУ по задающему воздействию:

W(s) =  =  

Подставим s=j*ω, тогда получим частотную характеристику :

W(j*ω) =  =  =

=  =  =

=  - j* 

Таким образом получили АФЧХ системы:

W(j*ω) =  - j*

где

U(ω) = ReW(j*ω) =    - действительная частотная характеристика

V(ω) = ImW(j*ω) = – мнимая частотная характеристика

ω	U(ω)	V(ω)
0	1	0
1	1,19	-0,81
2	-0,88	-0,67
3	-0,35	-0,03
4	-0,17	0,02
5	-0,1	0,03
∞	→ 0	→ 0

График АФЧХ

5.2.АЧХ

Амплитудно – частотная характеристика :

А(ω) =

A(ω) =  =

=  =  

A(ω) =

ω	A(ω)
0	1
1	1,44
5	0,1
10	0,018
20	0,003
	→ 0

График АЧХ

5.3.ФЧХ

ФЧХ системы определяется за формулой:

φ(ω) = arctg ()

φ(ω) = arctg() = -arctg()

φ(ω) = -arctg()

ω	φ(ω), град
0,1	87.529
1	48.681
5	-16.105
10	-39.655
20	-60.527
	-90

График ФЧХ

5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика

ЛАЧХ определяется за формулой :

L(ω) = 20 * lg(A(ω))

L(ω) = 20*lg() = 20*lg(2,33) – 10*lg()

ω, с-1	L(ω), Дб
0.01	2,93*10-4
0.1	0,03
1	3,2
10	-34,68
100	-151,74

График ЛАЧХ

6.Произвести анализ устойчивости САУ:

6.1.Критерий Вышнеградского

Передаточная функция замкнутой системы равна:

W(s) =  , тогда характеристическое уравнение

 = 0   <=>   , где

а₀=0,09  ;  а₁=1   ;   а₂=1   ;   а₃=2,33

1)  а₀ , а₁ , а₂ , а₃ > 0  - выполняется

2)  а₂*а₁ > а₃*а₀  т.е.  1 > 0,21

Чтоб судить об устойчивости системы за критерием Вышнеградского, необходимо, выполнялись 2 пункта, что выполняется в данном случае.

Поэтому, за данным критерием система устойчива.

6.2.Критерий Рауса-Гурвица

Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения – отрицательны. Тогда, в соответствии с критерием Рауса – Гурвица, для того, чтоб действительные части корней хар-го уравнения

b₀*x^m+b₁*x^m-1+b₂*x^m-2+…+b_m-1*x+b_m = 0

с действительными коэффициентами и b₀ > 0 , были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все определители Δ₁, Δ₂, … Δ_m :

 = 0

b₀=0,09 ;       b₁=1 ;           b₂=1 ;            b₃=2,33

Δ₃ =    = 1,84

Δ₂ =    =      =  0,7 + 2,33*0,09 = 0,79

Δ₂ = 1

Т.к. условие устойчивости b₀, b₁, b₂, b₃ > 0 выполняется и Δ₁, Δ₂, Δ₃ > 0 , то система устойчива

6.3.Критерий Михайлова

Характеристический полином замкнутой САУ :

D(s) =

Подставим S=j*ω  и определим действительную и мнимую части :

D(j*ω) =  =  =

=  , тогда

U(ω) = Re D(j*ω) =

V(ω) = Im D(j*ω) =

ω	U(ω)	V(ω)
0	2,33	0
1	1,33	0,91
2	-1,68	1,28
3	-6,68	0,57
5	-22,68	-6,25
∞	-∞	-∞

Годограф Михайлова

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, с ростом частоты ω от 0 до ∞ обходил последовательно в положительном направлении n квадрантов комплексной плоскости.

В нашем случае годограф начинается положительной вещественной полуоси, и проходит последовательно 3 квадранта и в последнем уходит в бесконечность, следовательно система устойчива

6.4.Критерий Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы :

W_p(s) =

Выясняем устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица, согласно с которым необходимо, чтобы все коэффициенты харак-го уравнения были положительны и а₁*а₂ – а₃*а₀>0.

Где

а₁= 0,09   ;   а₂=1   ;   а₃=1   ;   а₀=0

т.к. 0,09 –0 > 0 , то замкнутая система устойчива

Найдем АФЧХ разомкнутой системы:

W(j*ω) =  =  =

=  =   

W(j*ω) =

U(ω) = Re W(j*ω) =

V(ω) = Im W(j*ω) =

ω	U(ω)	V(ω)
0	-∞	-∞
1	-1,2	-1,15
5	-0,09	0,02
10	-0,01	0,01
20	-0,001	0,003
∞	→ 0	→ 0

Годограф Найквиста

Для того, чтобы САУ, устойчивая или нейтральная в разомкнутом состоянии, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы, при изменении частоты ω от 0 до ∞, не охватывал точку с координатами {-1,j0} на комплексной плоскости.

В нашем случае система устойчива в разомкнутом состоянии и годограф АФЧХ не охватывает точку {-1,j0}, следовательно, система устойчива.

Определение устойчивости по ЛАЧХ

Рассматривается разомкнутая система :

U(ω) = Re W(j*ω) =

V(ω) = Im W(j*ω) =

Найдем АЧХ :

A(ω) =  =  = >

A(ω) =

Найдем ФЧХ :

φ(ω) = arctg () = -arctg()

Найдем ЛАЧХ системы :

L(ω) = 20*lg(A(ω)) = 20*lg(2,33) – 10*lg()

ω	L(ω), Дб	φ(ω),град
0,01	47.328	89.427
0,1	27.293	84.284
1	4.708	42.302
10	-34.82	-38.66
100	-91,78	-83.653
1000	-151,74	-89.363

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ

Логарифмический критерий устойчивости : для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию φ = -π, была больше частоты среза.По графику видно, что частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию φ = -π, больше частоты среза, следовательно, система устойчива.