Прямое D с чертой-преобразование

Прямое -преобразование

Докажем справедливость формулы прямого -преобразования.

Используя определение -преобразования, а также фильтрующее свойство дельта-функции получим:

Запишем  по формуле обращения:

Внутренний интеграл по  сходится равномерно относительно . Поэтому порядок интегрирования можно изменить, в результате чего получаем:

Переход от суммы интегралов к интегралу от суммы будет заполнен, если ряд сходится равномерно при . Чтобы удовлетворить это условие, надо положить . Предполагая, что это условие выполнено, можно записать:

Разобьем прямую, по которой производится интегрирование на отрезке длиной . Тогда полученный интеграл будет иметь вид:

Произведем замену .

Тогда каждый из отрезков прямой на плоскости , по которой идет интегрирование под знаком суммы, отобразится в окружности на плоскости . Отрезок на плоскости , где  изменяется в пределах .

Обозначая эти окружности как , можно получить следующее соотношение:

В последнем равенстве введем обозначение:

При чем окружность  при изменении частоты  в пределах обходится в отрицательном направлении. Изменяя направление интегрирования, получаем:

   (1)

Здесь окружность , которая задается формулой обходится в положительном направлении при изменении частоты  в пределах .

Заметим, что замена комплексной переменной по формуле отображает правую полуполосу плоскости переменной . Эта полуполоса определена соотношениями:

внутри окружности . Поскольку функция является аналитической в правой полуплоскости и на прямой, по которой производится интегрирование, то есть в области, где , то функция является аналитической внутри каждой окружности, по которой вычисляется интеграл в выражении (1) и на самой окружности. Подынтегральное выражение в уравнении (1) является аналитической функцией внутри окружности , за исключением точки , которая лежит внутри , где . Поэтому справедливо неравенство:

По интегральной теореме Коши можно определить каждый из интегралов, стоящих вод знаком суммы в выражении (1).

При r=0 имеем:

Здесь в соответствии с обозначениями, - окружность, ее уравнение - . При чем меняется в пределах . Теперь найдем интеграл по окружности , для которой уравнение окружности имеет вид - , где . Здесь следует отметить, что подынтегральное выражение является аналитической функцией внутри окружности , за исключением точки .

Таким образом получаем:

Аналогично для любой окружности , то есть для любого слагаемого в уравнении (1) будем иметь:

Используя это выражение и уравнение (1) получаем:

Таким образом, справедливость формулы прямого -преобразования доказана.