Параболические уравнения. Определение интегральной передаточной функции

Уравнение вида  относится к параболическим уравнениям.

В начале расчета проведем идентификацию величин.

Входное возмущение   f(x, t)

.

Начальные условия:

Граничные условия:

;

a = b = c = 1;

l =1.

Bсходные уравнения примут вид:

;

;

Выходная величина запишется в виде уравнения:

Вычислим изображение по Лапласу нормирующей функции w(x,t) и входной величины f(x,t) по формулам:

;

;

Для определения интегральной передаточной функции необходимо найти операторное выражение выходной величины, которое будет иметь следующий вид:

 

Интегральная передаточная функция определяется по формуле:

Зададим пределы интегрирования от 0 до 1 и определим значение интегральной передаточной функции в точке x=0.

Проведем преобразования: заменим p на jw и разложим e(p) на sin и cos, выделим действительную и мнимую части.

По полученным данным строим графики ЛАЧХ и ЛФЧХ (рисунки 1 и 2).

;

.

График аппроксимируем по типовыми звеньям, см. Ю.И.Топчеев «Атлас для проектирования систем автоматического регулирования» стр. 94-97, передаточные функции  и .

Т = 1; следует из графика L(w), т.к. именной в этой точке происходит разрыв графика.

T₁ = 1;

T₀ = 1.

Определим k, при w = 0

20*lgk = 14 ^дб/_дек

k = 5.

Логарифмическая характеристика для аппроксимированной функции будет иметь  вид зависимости:

где T_a = 1.

Для интегрирующего звена ФЧХ записывается в виде:

.

На рисунке 1 показана фактическая L(w) ЛАЧХ.

На рисунке 1а показаны фактическая L(w) и аппроксимированная L_d(w) ЛАЧХ.

На рисунке 2 изображена фактическая j(w) ЛФЧХ.

На рисунке 2a изображены фактическая j(w) и аппроксимированная j_d(w) ЛФЧХ

Рис.1

Рис.1а

Рис.2

Рис.2а