Цифровая обработка сигналов. Синтез цифрового фильтра Баттерворта методом инвариантного преобразования ИХ, страница 2

                               6. Нахождение нулей и полюсов

Возьмем системную функцию ЦФ, синтезированного по методу билинейного преобразования:        

, где  ,,,,.

Чтобы найти значения нулей и полюсов, перейдем к положительным степеням z: .

Найдем значения полюсов, для этого приравняем знаменатель системной функции к нулю, чтобы получить характеристическое уравнение:

, найдем корни этого уравнения:

,

Значения полюсов:   и   .

Для нахождения значения нулей вынесем общий множитель 0,48084  из числителя, чтобы получить характеристическое уравнение:, корни этого уравнения:

, .

Значения нулей:  и  .

Картина нулей и полюсов на комплексной Z-плоскости

              7. Проверка условия устойчивости фильтра

Устойчивость фильтра определяется значениями коэффициентов b₁ и b₂.

.

Корни этого уравнения:, .

Фильтр устойчив, когда ïZï  1.или  , т.е. .

Рассмотрим два случая:

7.1.  Когда дискриминант больше либо равен нулю , отсюда:

в результате решения этого неравенства получаем четыре попарно равных неравенства: .

7.2.  Когда дискриминант меньше нуля , то:

.

По полученным неравенствам построим треугольник устойчивости:

Треугольник устойчивости

Так как точка с координатами (b₁,b₂) внутри треугольника устойчивости, то ЦФ ФНЧ является устойчивым.

Колебательные системы (КС): .

Апериодические системы (АС): .

Судя по треугольнику устойчивости, данный ЦФ ФНЧ является колебательной системой.

            8. Расчет первых 10 отсчетов импульсной и переходной                           характеристик, выражение для системной функции и АЧХ ЦФ

Выражение для передаточной функции фильтра, рассчитанного  методу билинейного преобразования:

, где  ,,,,.

Расчет АЧХ для фильтра, синтезированного по методу билинейного преобразования:

,

В системной функции H(z) производится замена z^-1 à exp(-jwT):

, разложение экспоненты через синусы и косинусы:

, где

,

.

АЧХ: .

С помощью передаточной функции запишем разностное уравнение:

, n³0.

Для расчета первых 10 отсчетов импульсной характеристики производится замена: , где ,

.

Численные значения первых 10 отсчетов импульсной характеристики:

y(0)=0,481; y(1)=0.639; y(2)= -0,069; y(3)= - 0,115; y(4)= 0,094;               

y(5)= -0,034;y(6)= -7,245∙10^-4; y(7)= 9,178∙10^-3; y(8)= -5,976∙10^-3;                  

y(9)= 1,694∙10^-3;  y(10)= 3,71∙10^-4.

График импульсной характеристики

Для расчета первых 10 отсчетов переходной характеристики в разностном уравнении производится замена: , где

Численные значения первых 10 отсчетов переходной характеристики:

График переходной характеристики

9. Структурная схема фильтра для прямой и канонической форм реализации

Системная функция ЦФ ФНЧ, синтезированного в пункте 3:

.

Структурная схема фильтра для прямой формы реализации

Структурная схема фильтра для канонической формы реализации

10. Алгоритм обработки фильтра для прямой и канонической форм реализации и объем вычислительных операций на один отсчет выходного сигнала

Исходя из структурной схемы фильтра для прямой и канонической форм реализации запишем разностное уравнение (n≥0):

На рисунке 10.1 проиллюстрирован принцип формирования выходного сигнала в ЦФ.

 

	Рис. 10.1. – Формирование выходного сигнала в ЛЦФ

 

11. Расчет среднеквадратического значения шума квантования всех источников

Т.к. , то для уменьшения  схему ЦФ можно упростить. Эквивалентная шумовая схема фильтра для прямой формы реализации учитывая то что  т.е. умножения не происходит, и то что  при умножении на целое число шумы не вносятся:

Эквивалентная шумовая схема фильтра для прямой формы реализации

Где -  это шумы АЦП,  это шумы вносимые при умножении на коэффициент ,  и  это шумы вносимые при умножении на коэффициенты  и  соответственно. Нахождение среднеквадратического значения шума АЦП:

.

,

,

, где  и  корни характеристического уравнения , а  и  корни характеристического уравнения .

То есть .

.

В результате преобразования и подстановки, получаем:

.

, , где С разрядность АЦП.

Принимаем разрядность АЦП равной 8. Тогда:, отсюда .