Зворотне wavelet перетворення, страница 2

Це називається натуральною вибіркою.

В загальному дискретизацію можна описати формулою:

                                                                              (7)

Дана дискретизація зроблена до застосування алгоритму і вибір x(t) не залежить від wavelet чи інших параметрів алгоритму. Згідно алгоритму Шенса тепер можна знайти коефіцієнти wavelet:

       (8)

В алгоритмі Шенса передбачена wavelet апроксимізація, яка важлива, оскільки її точність визначає точність всього алгоритму. Вона включає в себе два кроки. Перший – визначити низькопропускний фільтр g[n], другий – визначити високо пропускний фільтр h[n].

У випадку смугово-обмеженого wavelet  розв’язок «двомасштабного різницевого рівняння»

                                                                                 (9)

буде наступним:

Іншим рівнянням рівняння (9) є класична інтерполяційна функція «базовий сплайн» деякого степеня k, перетворення Фур’є якого

                                                                                             (10)

Розв’язавши рівняння (9) в частотній області отримуємо:

.

Одержимо біноміальний фільтр.

Потрібна додаткова умова:

 коли

За допомогою DWT можна обчислити перетворення wavelet рядів (WST).

При цьому спочатку аналоговий сигнал x(t) дискретизують згідно виразу (6). Тоді дискретний в часі сигнал x[n] обробляють DWT алгоритмом. Коли відбувається процес синтезу, сигнал відловлюють IDWT, а далі відбувається інтерполяція (або ЦАП) за формулою

Для точного відвесенян оригінального сигналу x(t) необхідне точне відтворення пари фільтрових наборів.

IDWT алгоритм легко отримати з алгоритму DWT. Структура зворотного перетворення така, що коефіцієнти фільтра g[n], h[n] заміняються на g’[n] i h’[n] відповідно. Так чи інакше, будь-який DWT алгоритм, один раз транспортований, може бути використаний для реалізації IDWT алгоритму. DWT i IDWT вимагають одинакової кількості операцій (множень і додавань) на кожне значення.

Рис.1 Завершена схема WST

Структура обчислень в DWT має вигляд восьмисмугових (октавосмугових) наборів фільтрів, які зображені на рис.2. DWT відповідає аналізуючому набору; IDWT відповідає синтезуючому набору, g[n], h[n], g’[n], h’[n] – це саме такі фільтри, які представлені в фільтрових наборах. Щоразу, коли використовується DWT, ми припускаємо, що фільтровий набір забезпечує досконале відтворення.

а)                                                                      б)

в)

Рис.2 Опис цифрових фільтрів

ОПИС ЦИФРОВИХ ФІЛЬТРІВ

В алгоритмі DWT перетворення використовуються цифрові фільтри: h-фільтр високої частоти, g-фільтр низької частоти. Фільтри нерекурсивні. Властивість нерекурсивного фільтра полягає в тому, що вхідний сигнал фільтра залежить тільки від значень вхідного сигналу, на відміну від рекурсивного, в якому залежить від попередніх значень вхідного сигналу. Нерекурсивний фільтр при відсутності зворотного зв’язку неможна розкачати. Він завжди стабільний.

При синтезі нерекурсивного фільтра постає завдання визначити вагові коефіцієнти a_к так, щоб задана бажана передаточна функція по можливості добре досягалася.

Коефіцієнт a_к – коефіцієнт передаточної функції. Передаточна функція визначається як відношення періодичних вхідного та вихідного сигналів. Це має місце також у цифрових системах. Таким чином, передаточну дискретну функцію цифрового фільтра можна отримати, якщо стимулювати його дискретним періодичним вхідним сигналом.

Дістанемо вихідний сигнал:

З нього обчислюється передаточна функція:

Передаточна функція буде добре досягатись, якщо апроксимація бажаної передаточної функції виконується за методом найменших квадратів.

Для визначення коефіцієнтів необхідно виконати ряд кроків (рис.3):

а) бажана передаточна функція  з граничною  (рис.3,а) є передаточною функцією інтегрального ФНЧ:

б) оскільки передаточна функція цифрового фільтра є дискретною трансформацією, вона завжди періодична (рис.3,б);

в) передаточна функція реалізованого фільтра буде  Спочатку вона визначається як ряд Фур’є, і він буде тим краще апроксимувати бажану періодичну функцію , чим більше членів буде включати в себе. Оскільки число коефіцієнтів фільтра мусить бути скінченним, ряд Фур’є повинен бути десь обірваним і з’явиться різниця між  та  (рис.3,в);