Аналитического выражения для коэффициентов отражения и прохождения по давлению и по энергии. Аналитическое выражение для неоднородной волны, страница 3

При углах падения <  и  являются действительными величинами. При критическом угле . При  коэффициенты прохождения и отражения становятся комплексными величинами. Причем  и имеет место явление полного внутреннего отражения.

Так как при

т.е. является мнимой величиной, то

 (19)                              

где

                         (20)                                           

Из (20) видим, что после критического угла , т.е. отражение полное. Отраженная волна давления приобретает на границе раздела z=0 сдвиг фазы 2 относительно фазы падающей волны, причем этот сдвиг монотонно зависит от угла падения:

 

В то же самое время, как показывает (20), модуль коэффициента прохождения

при изменении  от  до  уменьшается от двух до нуля.

Сдвиг фазы преломленной волны относительно падающей при z=0 составляет половину от сдвига фазы при отражении и равен . Представляет интерес анализ поля преломленной волны в нижней среде II (z). Из (1) и (4) следует:

Учитывая, что  получим

                                                    (21)                                                          

Видно, что поле в нижней среде при полном внутреннем отражении представляет собой неоднородную плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x, т.е. вдоль границы раздела сред. Амплитуда волны экспоненциально изменяется вдоль оси z, т.е. вдоль фронта волны. На основе принципа предельного поглощения амплитуда волны при удалении от границы раздела должна уменьшаться, а не увеличиваться. Поэтому для области  двойные знаки в выражении (21) и во всех ему предшествующих необходимо заменить одним знаком- нижним. Преломленная волна примет вид

                                             (22)                                                        

Введем обозначения . Учитывая, что , легко получить

Из (22) следует:

                                                                        (23)

И фазовую скорость можно представить как

Можно сделать вывод о том, что фазовая скорость неоднородной плоской волны меньше чем скорость однородной плоской волны в той же среде.

Представим (23) в векторной форме

где  и - орты вдоль осей оx и oz; знак «-» в показателе первой экспоненты означает противоположное направление векторов  и . Ранее было показано, что , причем .

Представляет интерес движение материальных частиц в неоднородной волне. Для его рассмотрения воспользуемся линеаризованным уравнением движения частиц в преломленной волне

Учитывая. Что для гармонического процесса , , из уравнения движения получим выражение для вектора смещения частиц

Так как согласно (23) неоднородная волна не имеет зависимости от координаты y, то для компонент вектора смещения имеем:

Видно, что частицы движутся в вертикальной плоскости xoz, т.е. в плоскости падения.

Для физической интерпретации процесса перейдем от комплексной формы записи величин к вещественной:

Если выразим из полученных соотношений синус и косинус, возведем каждый из них в квадрат и сложим, то, следуя известной тригонометрической формуле, получим

Это каноническое уравнение эллипса. Таким образом, частицы в неоднородной волне движутся по эллиптическим траекториям с полуосями, описанными выражениями в скобках  знаменателей, и центрами в местах невозмущенного положения частиц. Так как , то большая ось лежит в направлении распространения волны; малая ось - в направлении перпендикуляра к границе раздела. Анализируя энергетический процесс при полно внутреннем отражении. Целесообразно воспользоваться энергетическим коэффициентом прозрачности границы

.

Получим среднее за период колебаний значение нормальной к границе раздела компоненты вектора плотности потока энергии в преломленной волне , воспользовавшись (15):

     (24)

где  и  - орты соответственно вдоль направления волны и вдоль оси oz;

                                                                                  

Подставив (25), (26) в (24), получим

так как в квадратных скобках оказалась только мнимая величина.

Таким образом,  и граница при полном внутреннем отражении является энергетически непрозрачной. Однако , и это означает, что вектор плотности потока энергии параллелен оси x, т.е. границе раздела. Таким образом, энергия, приносимая падающей волной к границе раздела, полностью возвращается в верхнюю среду в отраженной волне.

 Численный анализ модулей и фаз коэффициентов отражения и прохождения по давлению и по энергии в диапазоне углов падения от 0 до 90.

 

Список литературы.

1. Егоров Н.Н., Яковлев Л.А. «Колебания и волны» - Учебное пособие, изд. С-Пб ГЭТУ, С-Пб, 1997г.