Аффинные преобразования плоскости и пространства. Изометрические преобразования (ИП). Связь с движениями., страница 4

Т:    –   перенос плоскости на вектор {a;b}

Утверждение.Преобразование D^C можно представить в виде композиции D^C₀ и Т, т.е. поворота плоскости вокруг начала координат на угол φ и переноса на вектор {a;b}.

С другой стороны преобразование D^C при ненулевом угле φ равносильно повороту плоскости вокруг т.М₀ (без переноса).

Рассмотрим несобственное движение.

D^Н : (VVV)

Рассмотрим частный случай.

φ=0 a=b=0

S_x:  симметрия относительно оси Ох

Утверждение

Любое D^Н представимо в виде композиции

Изометрические преобразования (ИП). Связь с движениями.

Определение. АП, при котором сохраняется скалярное произведение векторов, называется изометрическим преобразованием.

 

Свойства изометрических преобразований

 При ИП длины векторов сохраняются.

 

, .

Следствие. При ИП сохраняется расстояние между точками.

 совпадают со свойствами движения 1, 2, 3, 4, их доказательства так же совпадают.

Теорема о связи ИП и Д.

Любое ИП – это движение, любое движение – это ИП.

Доказательство:

1)  имеем ИП.

Докажем, что это движение.

 – ПДСК

 

 

 

 в силу  ИП

- ПДСК

При ИП ПДСК→в ПДСК =>оно движение по определению.

2)  пусть имеем D – произвольное движение.

Докажем что это ИП

 

т.к. при движении расстояние между точками сохраняется.

 

 в силу  движения

 

=>Движение есть ИП по определению.

Гомотетия. Преобразование подобия.

Определение. Гомотетией Г с центром в т. М₀ и коэффициентом kназывают АП плоскости, при котором т. М  М’, так что , где М₀ – двойная точка.

Формулы гомотетии.

Пусть M₀(x₀;y₀), M(x;y), M’(x’;y’)

 =>Г:

Г. с центром в начале координат O и k

Г₀:

 

Свойства гомотетии

 При гомотетии с коэффициентами k расстояние между точками изменяется в k раз.

Доказательство:

с коэффициентом подобия kпо 2-м сторонам и углу между ними. Следовательно,

 При гомотетии треугольники переходят в треугольники, подобные первоначальным.

Доказательство: Признак подобия по трем сторонам.

 При гомотетии углы между векторами сохраняются.

Доказательство: из  свойства.

Δ→ в подобные Δ, а углы между соответствующими сторонами в подобных треугольниках равны.

 При гомотетии с коэффициентом k площади Δ изменяются в k² раз.

Доказательство:

 

 

     

Преобразование подобия (ПП).

Определение. АП, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в k раз, называется преобразованием подобия с коэффициентом k.

Свойства преобразования подобия

 При ПП Δ^ки→ в Δ^ки подобные первоначальным, с коэффициентом подобия k.

Доказательство: по определению.

 При ПП углы между векторами сохраняются.

 При ПП площади треугольников изменяются в k² раз.

Свойства 2 и 3 доказываются абсолютно аналогично, как и для гомотетии

Замечание. При ПП и при Г площадь любой замкнутой фигуры изменяется в k² раз.

Теорема. Любое ПП с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k  и некоторого движения.

Доказательство:

Пусть имеем ПП Pс коэффициентом k, при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в k раз.

Рассмотрим Г с коэффициентом  и с центром в произвольной точке М₀.

При этой Г, в силу ее свойств, расстояние между двумя любыми точками изменяется в   раз.

Если мы выполним композицию этих преобразований, то получим, что расстояние между точками не изменилось. Следовательно, композиция этих преобразований – это некоторое движение.

Рассмотрим Г^-1 – гомотетия с центром в точке М₀ и коэффициентом k.

Возьмем  вышеупомянутую композицию и умножим слева на Г^-1.

 

  (*)         ч.т.д.

в формуле (*) центр гомотетии можно брать где угодно.

Формулы ПП

Рассмотрим гомотетию с центром в начале координат.

Г^-1:

D:

Р(ПП):  (**) – формула любого ПП с коэффициентом k.