Дифференциальные уравнения систем автоматического управления

Дано:

Записать уравнение системы в виде вход – выход:

где R₂ – входная величина, а Y_п – выходная величина.

1.                                   

2.                                   

3.

4.

5.
Решение:

1) линеаризуем уравнения (2) с помощью метода малых отклонений:

Обозначим через  и установившиеся значения,

а через  и  - малое отклонение величин от установившегося значения.

Получим:

Рассмотрим левую часть уравнения (2):

;

Рассмотрим правую часть уравнения (2):

Для не линейной функции  используем разложение в ряд Тейлора:

Тогда уравнение (2) примет вид:

Преобразуем его:

(*)

Запишем уравнение (*)для установившихся состояний, т.е.

Получим:

                                                                                       (**)

Вычтем (**) из (*) и получим уравнение в приращениях:

                                                                              (2’)

2) линеаризуем уравнения (3) с помощью метода малых отклонений:

Обозначим через  и , и  установившиеся значения,

а через ,  и  - малое отклонение величины от установившегося значения.

Получим:

Рассмотрим левую часть уравнения (3):

Рассмотрим правую часть уравнения (3):

Для нелинейной функции  используем разложение в ряд Тейлора:

=

Тогда уравнение (3) примет вид:

Преобразуем его:

(*)

Запишем (*) для установившихся значений:

                                                                                                     (**)

Вычтем (**) из (*) и получим уравнение в приращениях:

                                                                  (3’)

Перейдем от уравнения (1) к уравнению в приращениях:

Рассмотрим уравнение (1).

Обозначим через , ,  - установившиеся значения изменяемых величин, а через , ,  - приращение.

Тогда:

Подставим в уравнение (1):

                                               (*)

Запишем данное уравнение в установившихся значениях:

                                                                                     (**)

Вычтем (**) из (*) и получим уравнение в приращениях:

=+                                                                                  (1’)

Аналогично приведётся уравнение (4) и (5) к уравнениям (4’) и (5’), соответственно:

 

Для установившихся значений:

Уравнение в приращениях:

                                                                              (4’)

                   

                                                               (5’)

Подставим уравнения (2’), (3’), (4’) в выражение (1’):

                      (*)

Выразим из уравнения (5’) :

                                                                 (**)

Подставим уравнение  (**) в выражение (*):

Запишем уравнение в виде вход – выход, для этого R₂ ( входная величина) выразим и перенесём влево, а всё остальное и Y_п ( выходная величина) вправо

Ответ: