Выделение областей устойчивых и неустойчивых состояний с помощью D-разбиения, страница 2

Рассмотрим особую прямую при w=0 (рисунок 3, б); тогда вблизи этой точки прямую штрихуют одинарной штриховкой, совпадающей с двойной штриховкой кривой D-разбиения. Особую прямую при w= штрихуют таким же образом, как и при w=0 (рисунок 3, в). Кроме особых прямых w=0 и w=, существуют особые прямые, соответствующие тем значениям w= при которых одновременно удовлетворяются условия  Такую особую прямую вблизи точки w= и штрихуют двой­ной штриховкой, совпадающей с двойной штриховкой кривой D-разбиения (рисунок 3, г).   На рисунке 3, а— г приведена разметка точек при пересечении кривых D-разбиения.

Сравнение различных методов анализа устойчивости САР рассмотрим на примере.

Пример. Допустим, что САР дизеля можно представить с помощью передаточной функции:

          

где      а  и  могут принимать различные значения в диапазоне    .

Рисунок 3. Кривые fl-разбиения по двум параметрам и на пл. w для оп­ределения областей устойчивых и неустойчивых состояний: а - иллюстрирующие правило штриховки кривых; б - при наличии особой прямой, проходящей через точку w= 0; в - при наличии Особой прямой, проходящей через точку w=;  г— при наличии особой прямой, проходящей через точку w= где .

         При принятых числовых значениях параметров составим характеристическое уравнение:

          

т.е.

                  (78)

Уравнение (78) при и   запишем в общем виде:

   (79)

              

           Введем в уравнение (79) новую переменную

тогда получим:

                   (80)

или                                                      (81)

Здесь

Перепишем уравнение (81) в виде следующей системы уравнений:

                                                       (82)

Зададимся квадратичной формой:

                      

и будем искать функцию Ляпунова в форме:

              

удовлетворяющей, с учетом системы уравнений (82), соотношению

          

Соответствующая система для определения коэффициентов имеет вид:

                                               (83)

где             

Определитель системы уравнений будет

 (84)                                                                                                                                

Запишем функцию Ляпунова тогда

Пусть  т.е. все  при всех  за исключением  и  Имея это в виду, запишем функцию Ляпунова как

откуда                              (85)

или   

и        

           Условиями положительной определенности функции V по критерию Сильвестра являются  которые одновременно характеризуют отрицательную определенность W. Так как        

а   то неравенства можно переписать в виде

                  

или   

                      (86)

Рисунок 4. Сравнение областей устойчивых и неустойчивых состоя­ний по параметрам  и полученных на основе различных методов.

Подставив в неравенство (86) числовые значения, найдем уравнения Границы областей устойчивых и неустойчивых состояний

      

По формуле (87) определим числовые значения, характеризующие границы устойчивости по Ляпунову при различных  и

	0,05	0,1	0,2	0,3	0,450	1,0	2,0	3,0	5,0	10,0
	8,9877	7,0371	6,1358	5,9013	5,8272	6,1260	7,0137	7,9681	9,9168	14,835

По этим числовым данным строим границу областей устойчивости (кривая 1, рисунок 4). Для определения минимального значения вос­пользуемся соотношением

                                                  (88)

откуда T_lmi = 0,450 с.

Кривая 1 имеет две асимптоты, определяемые уравнениями = 0 — ось ординат и k=4,9383 + 0,98777Т - наклонная асимптота (прямая 2). Асимптоты показаны штриховыми линиями. Область устойчивости системы выделена на рисунок 4 штриховкой.

Воспользуемся для построения границ областей устойчивости крите­рием Льенара - Шипара. Если характеристическое уравнение имеет 3-й порядок, то условия устойчивости Льенара — Шипара будут

Из неравенств (89) видно, что последние аналогичны условиям ус­тойчивости по первому методу Ляпунова. Поэтому, пользуясь этим крите­рием, получим полное совпадение с кривой 1, которая ранее была построена на рисунке 4.

Исследуя устойчивость системы с помощью построения частотных характеристик, найдем

       (90)

Задаваясь значениями  и построим семейства логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик. Они показаны на рисун­ке 5,а при с, k=7,04; на рисунке 5,6 при T= 0,3 с, k = 5,9; на рисун­ке 5, в при Т= 1 с, = 6,13 и на рисунке 5, г при T= 3 с, k = 7,97. Из рисунка 5,а—г видно, что системы в замкнутом состоянии при этих параметрах на­ходятся на грани устойчивости, так как их запасы устойчивости по фазе УФ = 0°. По числовым значениям  и строим на рисунке 4 кривую 1, кото­рая совпадает с ранее полученной. Следовательно, частотный графоанали­тический метод анализа устойчивости также позволяет выделять области ус­тойчивых и неустойчивых состояний замкнутой системы. Данный метод ре­комендуется использовать при относительно высоких порядках передаточ­ных функций разомкнутых систем.

В заключение рассмотрим возможности метода D-разбиения при ис­следовании устойчивости систем. Для этого воспользуемся следующей формой представления дифференциального уравнения

                (91)

где

Рисунок 5. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики, при: а) ; б) ; в)

г)

Рисунок 6. Кривые D – разбиения для выделения областей устойчивости системы в плоскости параметров

Подставим в уравнение (91) числовые значения, получим

        (92)

При  из уравнения (92) найдем

                            (93)

Из системы уравнений (93) определим

              

                     (94)

вычислим следующие определители:

         

откуда

                                     (95)

Давая w различные значения от 0 до , построим по формулам (95) кривые D-разбиения (рисунок 6). Определитель  = 0 при w=0 и w= 2,222. Однако в последнем случае  и  не обращаются в нуль. Поэтому име­ются две особые прямые: w= 0 и w=.

Приравняв к нулю свободный член  характеристического уравнения (92), получим 1 + kk₂ =0, где

= -1/25 =-0,04, т. е. уравнение первой особой прямой. Приравняв  = 0, найдем уравнение второй особой прямой = 0.

Воспользуемся правилом штриховки, двигаясь по кривой D-разбиения от точки w=0 к точке w= 2,222, и нанесем двойную штриховку (рисунок 6). Затем в соответствии с ранее сформулированными условиями выполним одинарную штриховку особых прямых (рисунок 6).

Для параметров  = - 0,04 с и k₁= 1 из уравнения (92) имеем один нулевой корень и к - 1 = отрицательных корней. На рис. 4.32 это показа­но точкой . Затем по правилу переходов кривых D-разбиения и особых прямых найдем точки Т₂ - Т₆, каждой из которых соответствует свое зна­чение

k+1-i(=7, 2, 3). Наибольшую отметку имеют области с  - к = 3. Так как порядок уравнения (92) равен трем, то зоны с = 3 соответствуют областям устойчивости системы.

Кривые D-разбнения, построенные в 1-м квадрате на рисунок 6, полностью совпадают с кривыми, разделяющими области устойчивых и неустойчивых состояний (рисунок 4). Следовательно, все четыре рас­смотренные нами метода выделения областей устойчивости системы в за­висимости от изменения параметров дают одинаковые результаты.

В заключение отметим, что метод D-разбиения позволяет исследо­вать влияние как положительных, так и отрицательных параметров на об­ласти устойчивых и неустойчивых состояний, что в ряде практических за­дач представляет определенный интерес.