(рисунок)
Введём понятие проекции в-ра на ось (рис. 3)
AB=a - произвольный в-р, x - произвольная ось, пл-ти a и b проходят через начало и конец в-ра a и ^ оси x; j - угол между в-ром a и осью x.
(рисунок)
Проекцией ax в-ра a=AB на ось x наз-ют величину
ì /A'B'/, если A'B' x
axºí
î -/A'B'/, если A'B' ¯ x
Из рис. 3 видно, что ax=/a/cosj (1)
если j - тупой, то ax<0.
Очевидно, что оп-ция проектирования обладает след. св-вами:
1) при сложении в-ров их проэкции складываются
2) при умножении - умножаются
(рисунок)
Декартова СК в пр-ве - есть частный случай аффинной, когда в качестве базисных в-ров выбираются единичные взаимно ортогональные в-ры ex, ey, ez (правая тройка). Говорят, что эти в-ры образуют в пр-ве ортонормированный базис.
Из рис. 4 ясно, что декартовы координаты произвольного в-ра a совпадают с его проекцией на соответствующие оси координат, т.е. разложение этого в-ра по базису имеет вид a=axex+ayey+azez (2)
ax, ay, az - координаты в-ра (проекции)
Заметим, что для произвольной аффинной СК совпадение координат в-ра с проекцией не наблюдается.
(рисунок)
e1, e2 - базисные в-ры
a=(1/2)e1+3e2 - разложение на базис
l=1/2, m=3 - аффинные координаты (АК) в-ров.
a1=1, a2=2 - проекции в-ров на оси координат
Если ax, ay, az - есть углы между в-ром a и соответствующими осями, то
ax=/a/cosax |
ay=/a/cosay | (3)
az=/a/cosaz |
Числа cosax, cosay, cosaz - называются направляющими косинусами в-ра a.
Из рис. 4 ясно, что направляющие косинусы есть координаты единичного в-ра ea т.е. ea=(cosax, cosay, cosaz) (4)
Легко убедится в справедливости формул:
/a/=Ö(ax2+ay2+az2) (5)
cosax=ax/(/a/) |
cosay=ay/(/a/) | (6)
cosaz=az/(/a/) |
§1.5. Скалярное произведение двух векторов.
Сабж a и b - число равное произведению длин этих в-ров и cosj (между ними).
Сабж обозначают: (a, b), a·b, ab.
ab=/a//b/cosj (1)
(рисунок)
Скалярное произведение aa=/a/2=a2ºa2 наз-ют скалярным квадратом в-ра a.
Геометрическое св-во скалярного произведения:
Легко убедиться, что нид условием ортогональности 2-х в-ров яв-ся равенство нулю их скалярного произведения.
0 мы будем считать ортогональным " другому в-ру.
Алгебраические св-ва скалярного произведения:
1° ab=ba
2° (aa)b=a(ab)
3° (a+b)c=ac+bc
4° aa>0 if a¹0, aa=0 if a=0
] aи b в некоторой ДСК имеют координаты ax, ay, az и bx, by, bz и j угол между этими в-рами.
Легко док-ть следующие формулы
ax=aex ay=aey az=aez |
bx=aex by=aey bz=aez | (2)
ab=axbx+ayby+azbz (3)
cosj=(ab)/(Ö(ax2+ay2+az2)(bx2+by2+bz2)) (4)
Ясно, что нид условием ортогональности a и b яв-ся axbx+ayby+azbz=0 (5)
§1.6. Векторное произведение двух векторов.
Сабж - в-р e, удовлетворяющий следующим условиям:
1) Длина в-ра e = произведению /a//b/ на sin угла между ними: /e/=/a//b/sing
2) В-р e ортогонален каждому в-ру a и b
3) В-р e направлен так, что тройка в-ров a, b и eяв-ся правой
Векторное произведение обозначают: a*b, [ab] или [a, b]
(рисунок)
Геометрические св-ва векторного произведения:
1° нид условием колинеарности 2-х в-ров яв-ся равенство нулю их произведения.
2° модуль в-ного произведения равен площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу в-рах a и b
Алгебраические св-ва векторного произведения:
1° ab=-ba
2° (aa)b=a(ab)=a(ab)
3° (a*b)c=ac+bc
4° aa=0, " a
ax, ay, az и bx, by, bz есть координаты в-ров aи b в некоторой ДСК.
a*b=(axex+ayey+azez)(bxex+byey+bzez)=(axby-aybx)(ex*ey)+(axbz-azbx)(ex*ez)+(aybz-azby)(ey*ez)
(рисунок)
a*b=(axby-aybx)ez+(axbz-azbx)ey+(aybz-azby)ex (1)
Нид условие комплонарности в-ров выглядит так:
a*b=0 или с помощью (1)
aybz=azby azbx=axbz axby=aybx (2)
Договоримся всякую пропорцию вида a/b=c/d (*) понимать в смысле рав-ва ad=bc (**)
ax/bx=ay/by=az/bz (3) *
Введём несколько новых понятий
Квадратной матрицей второго порядка мы будем называть таблицу из 4-х чисел. Определителем (детерменатом) этой matrix A=||a1 b1||
||a2 b2|| будет называться число
detAº|a1 b1|
|a2 b2|ºa1b2-a2b1
Квадратной матрицей третьего порядка будем называть таблицу из 9-ти чисел
||a1 b1 c1|| |a1 b1 c1|
B=||a2 b2 c2|| detBº|a2 b2 c2|ºa1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-c1b2a3-a1b2c3-b1a2c3.
||a3 b3 c3|| |a3 b3 c3|
Непосредственной проверкой легко убедиться, что имеет место следующая формула, которую называют разложение определителя по элементу первой строки.
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2|=a1|b2 c2|-b1|a2 c2|+c1|a2 b2|=…
|a3 b3 c3| |b3 c3| |a3 c3| |a3 b3|
Используя понятие определителя, ф.(1) можно переписать иначе:
|ex ey ez|
a*b=|ax ay az| (4) (вычисление векторного произведения в ДСК)
|bx by bz|
] j - угол между a и b
ab=/a//b/cosj, /a*b/=/a//b/sinj возведём обе части в квадрат и сложим:
(ab)2+/a*b/2=a2b2
/a*b/2=(a*b, a*b)=(a*b)2 (см §1.5.)
(ab)2+(ab)2=a2b2
Сумма квадратов скалярного и векторного произведений 2-х векторов равна произведению квадратов этих векторов (основное тождество векторной алгебры)
§1.7. Смешанное произведение трёх векторов.
Если вектор aвектороно умножить на b, а затем полученный результат скалярно умножить на c, то полученное в результате число [ab]c наз-ся смешанным произведением этих в-ров. Его обозначают abc.
[ab]c=abc
Вычислительные геометрические и алгебраические свойства:
1° нид условием компланарности 3-х в-ров яв-ся рав-во нулю их смешанного произведения.
2° abc=V параллелепипеда построенного на приведённых к общему началу a, b и c. Если тройка в-ров правая, то (+), если левая, то (-).
(рисунок)
] j - угол между вектором c и [ab]
Если a, b и c - левая тройка (как на рисунке), то j - тупой p/2<j<p
Высота параллелепипеда h=/c/sina=/c/cosj
Объём V=/[ab]//c//cosj/
3° abc=bca=cab=-bac=-acb=-cba
4° (la)bc=l(abc)
5° (a1+a2)bc=a1bc+a2bc
Док-м св-во 3°. Введём для этого несколько новых понятий. Если две тройки в-в обе являются правыми или левыми, то говорят, что эти тройки одинаковой ориентации.
(рисунок)
Не трудно убедиться, что на нашем рисунке тройки abc; bca; cab; … (2) имеют одну ориентацию, они получаются друг из друга циклической перестановкой. Точно так же имеют одинаковую ориентацию тройки bac; acb; cba (3). Однако ориентация троек (2) и (3) яв-ся противоположной ((2) - правые, а (3) - левые)
Р/м теперь два смешанных произведения: abc и bac, их модули совпадают, поскольку они равны V одного и того же параллелепипеда. С другой стороны их знаки противоположны, т.к. эти тройки имеют разную ориентацию. Так получается св-во 3°.
В частности из него вытекает, что при циклической перестановке 3-х в-ров их смешанное произведение не меняется.
Заметим, что abc=bca=[bc]a=a[bc]. Получается, что определение смешанного произведения можно переписать так: abc=[bc]a=a[bc] (4)
Таким образом при вычислении смешанного произведения не имеет значения какие именно в-ры перемножаются векторно.
] в-ры a, b и c заданы своими координатами в некоторой ДСК.
a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), c=(cx, cy, cz)
тогда [ab]=(aybz-azby, azbx-axbz, axby-aybx) => abc=[ab]c=(aybz-azby)cx+(azbx-axbz)cy+(axby-aybx)cz
Легко убедится, что эта формула равна следующей
|ax ay az|
abc=|bx by bz| (5)
|cx cy cz|
Вычисление смешанного произведения в ДСК.
Понятие смешанного произведения позволяет решить задачу о нахождении аффинных координат произвольного d. ] a, b и c составляют базис в АСК, а l, m и n - есть координаты d в этом базисе, т.е.
d=la+mb+nc (6)
(рисунок)
Итак a, b, c и d заданы, нужно найти l, m и n.
Умножим обе части (6) скалярно на [bc] и учтём, что b[bc]=[bc]=0
a[bc]¹0, т.к. a, b и c некомпланарные (составляют базис)
l=(d[bc])/(a[bc])=(dbc)/(abc)
Аналогично можно получить координаты m и n.
В результате (6) будет выглядеть так
d=(d[bc])/(a[bc])+(d[ca])/(a[bc])+(d[ab])/(a[bc]) (7)
В частности, если a, b, c и d заданы своими декартовыми координатами, то аффинные находятся так
Аналогично для m и n
Эти формулы и решают задачу о разложении произв. в-ров в АСК.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.