В свою очередь, максимум и минимум функции определяются как наибольшее или наименьшее значение функции, принимаемое ею в некоторой точке n-мерного пространства по сравнению с другими возможными значениями этой функции.
Введем далее еще несколько понятий, связанных с понятием “экстремум функции”.
Определим точку экстремума как набор значений переменных оптимизации x1, x2 , ... , xn , на котором ЦФ принимает экстремальное (оптимальное) значение.
(Отметим, что ряд авторов определяет такую точку как точку, доставляющую максимум или минимум целевой функции).
Будем обозначать это значение символом Xопт , а соответствующее ей оптимальное значение ЦФ символом zопт. (При необходимости указания вида экстремума можно использовать обозначения Xmax и zmax а также Xmin и zmin.).
Укажем далее на существование нечеткости в решении вопроса о том, что следует считать решением задачи оптимизации.
Такой термин имеет два значения: 1) последовательность действий, выполнение которых позволяет найти экстремум функции (такие действия и называются оптимизацией); 2) результат оптимизации.
Если задача оптимизации формулируется как задача нахождения экстремума заданной ЦФ при заданных ограничениях то естественно рассматривать в качестве решения такой задачи найденное значение zопт (а также соответствующее ему Xопт ).
Однако в соответствии с терминологией, принятой в теории оптимизации, решение задачи оптимизации не обязательно должна быть оптимальным, т.е. быть точкой экстремума Xопт. Таким решением может быть, например, допустимое решение Xдоп, которое должно лишь удовлетворять всем ограничениям задачи. Вектор Xопт в рамках такой терминологии называется оптимальным решением.
Отметим также, что нет единого мнения и о том, какую из характеристик (zопт или Xопт ) следует считать решением задачи оптимизации. (Так, очевидно, что в соответствии с определениями оптимизации такой характеристикой должна быть zопт ).
В дальнейшем для определенности будем считать решением задачи оптимизации совокупность значений Xопт и zопт - точку экстремума и значение экстремума.
(Отметим, что оба эти значения одинаково важны при решении практических задач).
В теории оптимизации различают два вида экстремума - локальный и глобальный.
Локальный экстремум определяется в результате сравнения значения ЦФ в оптимальной точке со значениями ЦФ в точках, входящих в некоторую (сколь угодно малую) окрестность этой точки.
Глобальный экстремум определяется при наличии нескольких одноименных локальных экстремумов.
Определим глобальным максимум (минимум) как такой максимум (минимум), который больше (меньше) всех остальных (локальных максимумов (минимумов)).
Определим далее понятие оптимума функции.
При определении этого понятия учитывается, что в практических задачах значения переменных xj функции f(X) всегда ограничены не-которыми граничными условиями вида aj £ xj £ bj .
При этом часто оказывается, что наибольшее или наименьшее значение функции достигается не “внутри”, а на границе такой области. Очевидно, что наибольшее (или наименьшее) значение функции в граничной точке не удовлетворяет определению экстремума (требующему сравнения этого значения f(X max) с достаточно близкими точками, как большими, так и меньшими X max ).
Поэтому наибольшее или наименьшее значение функции без учета того, где находится такое значение – внутри заданного интервала или на его границе - называют не экстремумом, а оптимумом. Оптимум, таким образом, представляет собой более широкое понятие, чем экстремум [28]. С точки зрения математики оптимум функции - это такое ее значение, которое больше других значений функции или меньше других значений в некоторой ограниченной области определения этой функции.
Анализ определений понятий “максимум” и “минимум” функции позволяет сделать заключение о том, что они могут быть использованы как для характеристики экстремумов, так и для характеристики оптимумов. Это обстоятельство будет использовано нами в дальнейшем.
На рисунке 1.1 приведена функция f(x), на аргумент которой наложено граничное условие a £ x £ b. Оптимумы этой функции (минимум и максимум) находятся в точках A и E. При этом экстремумом функции является только точка E. Эта точка является также точкой глобального максимума.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.