Наличие критерия, выражающегося числом, позволяет построить математическую модель задачи оптимизации.
Основным компонентом первой части этой модели является целевая функция. Такая функция описывает зависимость количественной характеристики, входящей в критерий оптимизации, от совокупности некоторыхпеременных.
(Отметим, что именно об этой функции и идет речь в первой части определений понятия “оптимизация”).
z = f ( x1 , x 2 , ... , x n) . (1.1)
Переменные x1, x2 , ... , xn , являющимися аргументами рассматриваемой функции, называются переменными оптимизации. Набор значений таких переменных задает некоторый вариант, рассматриваемый в задаче оптимизации.
З а м е ч а н и е 1.1. Некоторые авторы выделяют в целевой функции две группы переменных – управляемые и неуправляемые. Управляемые переменные варьируются при решении задачи оптимизации, а неуправляемые переменные остаются при этом неизменными.
З а м е ч а н и е 1.2. При решении задачи оптимизации некоторой системы целевая функция строится на базе математической модели системы, позволяющей рассчитывать характеристики функционирования системы. В качестве управляемых переменных в такой целевой функции выступают внутренние параметры системы, изменяемые в процессе исследования или проектирования системы.
В математической модели оптимизации целевая функция всегда связывается с указанием “направления оптимизации”, т.е. с указанием того, минимальное или максимальное значение этой функции следует считать наилучшим.
Таким образом, роль ЦФ в математической модели задачи оптимизации состоит в том, чтобы свести задачу оптимального выбора в различных сферах человеческой деятельности к задаче нахождения максимума или минимума некоторой функции.
Сравним понятия “критерий оптимизации” и “целевая функция”. Критерий оптимизации содержит информацию о некоторой выбранной количественной характеристике и о том, минимум или максимум этой характеристики следует считать наилучшим. Целевая функция “детализирует” критерий оптимизации, “раскрывая” его зависимость от переменных оптимизации. При этом ЦФ (будучи “обычной” функцией n переменных) “получает” от критерия оптимизации дополнительную характеристику - “направление оптимизации”.
Второй частью математической модели задачи оптимизации являются ограничения, учитывающие условия решения задачи.
З а м е ч а н и е 1.3. Ограничения являются обязательным компонентом абсолютного большинства практических задач.
При отсутствии ограничений каждая из переменных оптимизации может независимо от других принимать любое действительное значение ( - ¥ < xi < +¥ , i =1,2,…,n или xi ÎR, где R – множество действительных чисел ).
Наиболее простые ограничения задают некоторые диапазоны возможных значений переменных. Другие задают характер множества возможных значений переменных (например, оговаривают дискретность такого множества).
Более сложные ограничения строятся на базе функций, связывающих переменные оптимизации. Они формируются таким образом, чтобы значения этих функций или были либо равны некоторым константам, либо не превышали их значений.
Множество наборов значений переменных оптимизации, удовлетворяющих ограничениям, называется допустимым. Очевидно, что оптимальный набор значений переменных, задающий оптимальный вариант, должен принадлежать этому множеству.
Совокупность переменных оптимизации удобно рассматривать как n-мерный вектор X = (x1, x2, ... , xn). Тогда о каждом конкретном значении X можно говорить как о точке n - мерного пространства, имеющей координаты x1, x2, ... , xn. В этом случае значение функции z, достигаемое на наборе значений этих переменных x1, x2, ... , xn , можно считать значением, достигаемым в точке X, и обозначать такое значение в виде z = f(X).
Продолжим анализ термина “оптимизация”.
Напомним, что в его состав входит понятие “экстремум (целевой) функции”. Это понятие (от лат. extremum - крайний) объединяет понятия “максимум” и “минимум” [2].
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.