Числовые ряды. Сходимость числового ряда, страница 3

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Применим признак Даламбера. Так как , то . Вычислим предел:

.

Так как предел меньше 1, то ряд сходится.

Теорема 8 (признак Коши). Дан ряд  , причём   a_n ³ 0.   Вычислим предел

.

Если  p< 1,то ряд сходится, еслиp> 1,  то расходится .

Доказательство. Пусть p< 1. Возьмём число q:  p< q < 1. Из определения предела следует, что ,  т.е.  a_n < qⁿ. Так как ряд  cходится, то, по признаку сравнения, ряд  тоже сходится. Но этот ряд отличается от исходного ряда лишь тем, что отброшены несколько первых слагаемых. Значит, исходный ряд сходится.

Если  , то  , начиная с некоторого номера. Значит, a_n>1 и   lim a_n ¹ 0. Ряд расходится, так как нарушено необходимое условие сходимости.

Пример 8.   Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Применим признак Коши:

.

Так как предел меньше 1, то ряд сходится.

Замечание. Можно доказать, что признак Коши «сильнее» признака Даламбера. Т.е. если признак Коши не даёт результата , то и признак Даламбера бесполезен . Но есть примеры, когда признак Даламбера не даёт ответа, а признак Коши решает задачу. Однако признак Даламбера применять проще, поэтому он чаще используется.

Обратим внимание: имеется очень много общего между сходимостью числовых рядов и сходимостью несобственных интегралов. Напомним, в 8 модуле для несобственного интеграла  дано определение сходимости, рассмотрены признаки сравнения –полностью аналогичные признакам сравнения для числовых рядов. С другой стороны, несобственные интегралы иногда можно исследовать по определению: вычислить  (с помощью формулы Ньютона – Лейбница), а затем перейти к пределу при N®¥. Поэтому важно научиться исследовать числовые ряды, опираясь на эту технику.

Теорема 9 (интегральный признак сходимости). Пусть функция f(x) принимает положительные значения, монотонно убывает и непрерывна при x ³ 1. Тогда интеграл  и ряд      или оба сходятся, или оба расходятся.

Доказательство.    Пусть   k  –натуральное число. Так как  f(x)  убывает, то     f(k) ³ f(x) ³ f(k+1)  ("xÎ[k, k+1]). Проинтегрируем по отрезку [k, k+1]. Так как ,  то  получим:

.

(Впрочем, эти неравенства легко следуют из сравнения площадей:  – площадь криволинейной трапеции,  f(k)  и  f(k+1) равны площадям соответствующих прямоугольников.)

Запишем полученные неравенства для k = 1, 2, ..., n  и просуммируем их. Сумму интегралов, пользуясь аддитивностью, преобразуем в интеграл  по объединению отрезков.

                                         (*)

Допустим, интеграл  сходится. Это значит, что существует конечный предел .  Так как  f(x) ³ 0, то   возрастающая последовательность, т.е. . Используя правую часть неравенства (*), получим: . Значит, частичные суммы ряда  возрастают и ограничены. Такая последовательность, (см. 1.4.2)  всегда имеет предел. Следовательно, ряд  сходится.

Обратно, пусть ряд  сходится, т.е. существует  конечный предел последовательности частичных сумм: . Так как эта последовательность, очевидно, возрастающая, то . Отсюда и из левой части (*) следует, что . Последовательность  возрастает, ограничена сверху, а значит имеет конечный предел: , несобственный интеграл сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость ряда  ,  где a– некоторое постоянное число. Ряд такого вида называется  обобщённым  гармоническим.

Решение.  Ясно, что если   a£ 0,  то     и ряд, конечно, расходится. Пусть  a> 0.  Рассмотрим несобственный интеграл . Все условия теоремы 9 выполнены, поэтому ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно (т.е. при одних и тех же a ).