Числовые ряды. Сходимость числового ряда

13   Числовые ряды

Мы начинаем изучать новую тему – теорию рядов. Понятие ряда обобщает понятие суммы, позволяя рассматривать суммы бесконечного числа слагаемых. Основа для такого обобщения у нас есть – это теория числовых последовательностей, рассмотренная в 1 модуле.

13.1  Сходимость числового ряда

Пусть  a₁, a₂, a₃, ..., a_k,...  – действительные числа. Числовым рядом называется выражение

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_k + ...

Можно записывать ряд и с помощью значка  S:

.

Нумерацию слагаемых иногда начинают не с 1, а с 0 (или другого целого числа). Таким образом, числовой ряд – совершенно новый для нас объект. Пока – это лишь символическая запись указанного вида, содержательный смысл этой записи нам предстоит определить.    Рассмотрим числа:

S₁ = a₁,

S₂ = a₁ + a₂,

S₃ = a₁ + a₂ + a₃,

……………………

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n,

………………………

Они называются частичными суммамиряда . Если последовательность {S_n} сходится, т.е. существует конечный предел , то ряд   называется сходящимся,  а число  S – суммой  этого ряда.  Если  lim S_n  бесконечен или не существует, то ряд называется  расходящимся.

Пример 1.   Ряд       расходится, так как последовательность его частичных сумм, очевидно, стремится к бесконечности.

Ряд      тоже расходится, его частичные суммы  S₁ = 1,  S₂ = 0,  S₃ = 1,  S₄ = 0, ...    образуют последовательность, не имеющую предела.

Пример 2.  Рассмотрим ряд

.

Он представляет собой   сумму  геометрической  прогрессии.   Напомним:  а – первый член, q – знаменатель прогрессии. Попытаемся разобраться: сходится ли этот ряд?

Рассмотрим частичную сумму: S_n = a + aq +...+ aq^n–1. Умножим обе части равенства на  q,  а затем вычтем одно равенство из другого:

S_nq = aq + aq² + ... + aqⁿ,

S_n – S_nq  =  a – aqⁿ.

Отсюда находим: . Впрочем, эта формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии рассматривается в школьном курсе математики. Вычислим предел:

Как мы знаем, если , то  (при ). Поэтому при  ряд  сходится:

 

– сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Если же , то    и ряд расходится.  Итак, запомним:

   сходится     .

Пример 3. Рассмотрим ряд

.

Этот так называемый гармонический ряд. Чтобы решить вопрос о его сходимости, рассмотрим другой, вспомогательный ряд, полученный из гармонического уменьшением его слагаемых:

( Мы в гармоническом ряде оставили слагаемые     без изменения, а остальные уменьшили). Подсчитаем некоторые частичные суммы нового ряда:

   .

Ясно, что . Значит, . Поэтому вспомогательный ряд расходится (последовательность S_n  не может сходиться, если некоторая её подпоследовательность стремится к ¥). Частичные суммы гармонического ряда больше соответствующих S_n,  поэтому гармонический ряд расходится.

Перейдём к изучению свойств сходящихся рядов.

Теорема 1. Рассмотрим ряд , а также ряд, полученный из него отбрасыванием первых k слагаемых: . Эти ряды или оба сходятся, или оба расходятся.

Доказательство. Обозначим S_n – частичные суммы ряда  , S¢_n – частичные суммы ряда . Ясно, что тогда    . Поэтому .   Но   , а значит если существует и конечен один из пределов , то существует и конечен другой предел, что и требовалось доказать.

Итак, сходимость ряда (как и сходимость числовой последовательности) не зависит от первых членов. Сходимость или расходимость характеризует поведение слагаемых  a_n при n®¥. Изучая сходимость ряда, можно вместо записи  использовать более простую запись .

Теорема 2. Если ряды  сходятся, то сходятся и ряды .   Здесь   l– действительное число.

Доказательство   сразу следует из определения сходящегося ряда и свойств предела последовательности. Действительно, если S_n, S¢_n– частичные суммы рядов соответственно, то – частичные суммы рядов . Значит, если   lim S_n,   lim S¢_n существуют и конечны, то существуют и конечны также пределы

.

Теорема 3 (необходимое условие сходимости).   Если ряд   сходится, то .

Доказательство. По определению, сходимость ряда означает, что существует конечный предел   .    Но     .    Поэтому

.

Замечание. Условие   lim a_n = 0  не является достаточным  для сходимости ряда – например, для гармонического ряда  оно, очевидно, выполнено, однако ряд расходится. Таким образом, с помощью теоремы 3 иногда можно убедиться в расходимости ряда, но доказать сходимость нельзя.

Пример 4.  Исследовать сходимость ряда        

Решение. Замечая закономерность в изменении слагаемых, можем записать ряд так:

.

Другими словами,  .   Вычислим предел:

.

Ряд расходится, так как нарушено необходимое условие сходимости.

Теорема 4  (критерий Коши  сходимости числового ряда).

 сходится       .

Доказательство.   Пусть  {S_n} – последовательность частичных сумм.

Ряд     сходится      Û       {S_n}   сходится      Û       {S_n}   фундаментальна, т.е.

.Мы воспользовались критерием Коши для числовых последовательностей (см. 1.4.4). Записывая последнее утверждение немного в другой форме, получим:

, или, что то же самое,

.

Заметим, что не только для каждого ряда  можно рассмотреть последовательность {S_n}, но и наоборот, зная последовательность частичных сумм, можно найти слагаемые ряда: a_n = S_n–S_n–1. Таким образом, каждому числовому ряду однозначно соответствует последовательность. Причём сходимость ряда означает сходимость соответствующей последовательности. Поэтому многие свойства числовых рядов (например теоремы 1, 3, 4) – это свойства последовательностей, сформулированные на «языке рядов».

13.2  Признаки сходимости рядов с положительными слагаемыми