Методы математической статистики, применяемые в практике измерений. Подготовка массива результатов измерений для статистической обработки. Вариационный ряд, страница 9

Пусть статическая характеристика преобразования y=f(x) с высокой точностью, существенно превышающей требуемую точность определения этой характеристики, аппроксимируется степенным полиномом неизвестной степени q с неизвестными коэффициентами:

у = а₀ +a₁x + a₂x²+...+a_qx^q.    (3.32)

Обычно в нормативных документах на испытуемое средство измерений указываются значения х₁,х₂,...,х_к, которые должны быть заданы на входе. С помощью калибратора или иного точного источника входной величины х устанавливают последовательно указанные значения, начиная с наименьшего, и при каждом значении х_i=1,2,..., к измеряют выходной сигнал. Затем по достижении последнего к-го значения и измерения выходного сигнала ненамного увеличивают значение входной величины, и процесс повторяется в обратном направлении. Делают несколько таких циклов в одинаковых условиях. В результате при каждом значении входной величины х_j будет получен массив выборочных значений выходной величины объёмом n: y_i1, y_i2,… y_in Пример графического представления результатов описанного эксперимента показан на рис. 3.3. Здесь y_ij= i=l,2,...,k; j = 1,2,...,n - обозначение выборочных значений выходной величины, полученных в i -ой точке при j -ом эксперименте.

3.5.2. Предварительная обработка результатов измерений

Предварительная обработка данных, полученных в результате эксперимента и представленных на рис. 3.3, заключается в том, что в каждой i -ой точке вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии (см. также п.3.2.1):

          (3.33)

Вслед за этим проверяется статистическая гипотеза о равенстве дисперсий разброса результатов измерений в i -ых точках. На языке математической статистики эта гипотеза формулируется вместе с ее альтернативой следующим образом:

Гипотеза H₀: - "измерения равноточные".

Альтернатива Н₁: - "измерения неравноточные".

Проверка этой гипотезы необходима для выбора одного из двух различающихся методов обработки данных. Общие принципы проверки статистических гипотез изложены выше в п.3.4.

Проверка сформулированной гипотезы выполняется по критерию Кочрена (Cochran). Для этого вычисляется значение критерия

       (3.34)

Вычисленное значение критерия сравнивается с критическим значением, которое зависит от k и n, а также от уровня значимости α, значение которого выбирается из диапазона 0.05 - 0.2. В таблице 3.5 приведены критические значения g(α,k,n) для α=0.05.

Если окажется, что G > g(α,k,n) то это значит, что мы не имеем достаточных оснований для того, чтобы считать нашу гипотезу справедливой, а измерения выходной величины следует считать неравноточными. В противном случае у нас нет достаточных оснований для отклонения гипотезы Н₀, и мы считаем измерения равноточными.

Вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы, если она на самом деле справедлива, будет не больше заданной нами вероятности α.

Таблица 3.5

Критические значения критерия Кочрена

Результаты выполненной нами предварительной обработки исходных данных запишем в виде вектора средних значений и матрицы оценок дисперсий:

(3.35)

3.5.3. Определение статической характеристики преобразования. Случай равноточных измерений