Изменение прямых показателей качества при фиксированном значении функционала, но различных параметрах регулятора (оценка желаемого поведения)

Страницы работы

18 страниц (Word-файл)

Содержание работы

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ТЕХНИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

КАФЕДРА АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Расчетное задание 1

Дисциплина: Адаптивные системы управления

Работу выполнил студент     5081/2            

группа                           ФИО

Преподаватель                          

подпись                            ФИО

Санкт-Петербург

2009г.


Задание

Рассматриваем объект, заданный линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

Целевой функционал:

1)  Синтезировать оптимальную систему линейно-квадратичного управления на основе П-регулятора в непрерывном времени. Получить аналитическое выражение  уравнения Риккати.  (3 режима)

2)  Исследовать зависимость значения функционала от коэффициентов K1 и K2.

3)  Исследовать изменение прямых показателей качества при фиксированном значении функционала, но различных параметрах регулятора (оценка желаемого поведения).

4)  Исследовать влияние дискретизации на функционал и переходный процесс.

Исходные данные

a0 = 5, a1 =

Изменяемый параметр – a0. Принимает значения 0,5; 5; 50.

α=1, β=0

Получаем следующее уравнение объекта:

Целевой функционал:

Выполнение работы

1. Синтез и исследование непрерывной оптимальной системы.

Передаточная функция объекта:

Уравнения состояния, матричный вид:

Векторно-матричное уравнение примет вид:

Многомерный линейный стационарный объект, описываемый векторно-матричным уравнением вида:

где

x € Rn              - вектор координат управления состояния объекта

A € Rn*n          - матрица параметров объекта

B € Rn*m         - матрица параметров цепи управления объекта

U € Rm             - вектор управления объектом

x0                    - вектор начальных условий

Необходимо синтезировать управление, обеспечивающее перевод объекта из некоторого начального состояния x(t0) = x0 в заданное конечное состояние x(tf)=0 и минимизацию целевого функционала вида:

где Q и R – симметрические соответственно неотрицательно и положительно определенные диагональные матрицы (Q € Rn*n, R € Rm*m).

В теории управления решение описанной задачи известно как решение линейно-квадратичной (ЛК) проблемы оптимального управления.

Результатом ее решения является определение параметров обратной связи (регуляторов), обеспечивающей наилучший, в смысле минимального значения функционала (2) при любых начальных условиях х0.

Как известно, решение ЛК - проблемы оптимального управления для стационарных систем сводится к решению алгебраического векторно-матричного квадратного уравнения  Риккати вида:

где S – квадратная положительно определенная симметрическая матрица.

В результате его решения находится оптимальное значение матрицы S* и матрицы оптимальных коэффициентов обратной связи

При этом оптимальное уравнение формируется в виде:

т. е. в форме пропорциональной обратной связи по всем координатам вектора состояния.

Таким образом, первым этапом решения ЛК – проблемы оптимального управления линейными стационарными объектами является решение алгебраического векторно-матричного уравнения Риккати.

Преобразуем нелинейное уравнение Риккати к линейному.

Для этого уравнение (4) помножим  слева на R

С учетом (6) уравнение (3) можно переписать в виде

Итак, требуется решить векторно-матричную систему вида:

Преобразуем заданное выражение критерия к векторно-матричной форме, чтобы выполнялось следующее соответствие:

Получим:

,

Преобразуем линейное уравнение Риккати (первое в системе (8)), перенеся слагаемые, содержащие коэффициенты К, в правую часть:

Вычислим левую и правую часть, представив матрицу подстановки Риккати S в виде:

. Матрица подстановки Риккати S является симметрической, то есть . Обозначим диагональные элементы матрицы S как . Тогда матрица подстановки Риккати будет иметь следующий вид: .

Обозначим:

В нашем случае a2 = b ( = a0 ), изменяемый параметр a0 = 0,5; 5; 50. a1 =

Тогда:

Выразим из первого уравнения s3 и s2:

Таблица 1.1. Результаты вычислений

Похожие материалы

Информация о работе