Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі, страница 9

2.152.  Дакажыце, што мнагасклад :  а) мае корань на адрэзку ;  б) мае не менш трох рэчаісных каранёў.

2.153.  Дакажыце, што адвольны мнагасклад няцотнай ступені мае прынамсі адзін рэчаісны корань.

2.154.  Няхай функцыі  і  непарыўныя на адрэзку  і , а . Дакажыце, што існуе пункт  такі, што .

2.155.  Няхай функцыі  і  непарыўныя на адрэзку  і мноства іх значэнняў на гэтым адрэзку супадаюць. Дакажыце, што існуе, ва ўсякім разе, адзін пункт  такі, што .

2.156.  Дакажыце, што з раўнамернай непарыўнасці функцый  і  на мностве  вынікае раўнамерная непарыўнасць на гэтым мно-стве лінейнай камбінацыі  пры адвольных  і .

2.157.  Карыстаючыся азначэннем, дакажыце раўнамерную непарыўнасць функцыі  на мностве , калі:    1) ;         2) ; 3) ; 4) .

2.158.  Дакажыце, што калі  раўнамерна непарыўная на адрэзках  і , то яна раўнамерна непарыўная на адрэзку .

2.159.  Сфармулюйце ў дадатным сэнсе сцверджанне, што  не з’яўляецца раўнамерна непарыўнай на мностве .

2.160.  Дакажыце, што функцыя  не з’яўляецца раўнамерна непарыў-най на мностве  калі: 1) ;  2) 

2.161.  Даследуйце на раўнамерную непарыўнасць на мностве  функ-цыю , калі: 1) 2);    3); 4).

2.162.  Дакажыце, што калі  раўнамерна непарыўная на інтэрвале , то існуюць наступныя ліміты:  і .

2.163.  Дакажыце, што раўнамерна непарыўную на інтэрвале  функ-цыю можна давызначыць у пунктах  і  так, што функцыя будзе непарыўнай на адрэзку .

2.164.  Дакажыце, што калі функцыя неабмежаваная на канечным інтэрвале , то яна не можа быць раўнамерна непарыўнай на гэтым інтэрвале.

2.5. ПАРАЎНАННЕ ФУНКЦЫЙ

Няхай  і  вызначаны ў ваколлі пункта а акрамя, можа быць , прычым  і існуе . Тады:

1) Калі , то функцыю  называюць бясконца малой у параўнанні з функцыяй  пры  і пішуць: . У прыватнасці, запіс  азначае, што , г. зн. што  ёсць бясконца малая функцыя пры . Калі  і  пры , то  называюць бясконца малой больш высокага парадку, чым .

2) Калі , то функцыю  называюць эквівалентнай (або асімптатычна роўнаю) функцыі  пры  і запісваюць: .

3) Калі  і  пры , то іх называюць бясконца малымі аднаго парадку пры . У прыватнасці,  называюць бясконца малой – га парадку пры , калі  і  з’яўляюцца бясконца малымі аднаго парадку пры .

Аналагічна параўноваюцца бясконца вялікія функцыі.

Запіс , азначае, што існуе лік , такі, што ў некаторым ваколлі пункта .

Знаходжанне лімітаў функцый у многіх выпадках значна спрашчаецца, калі скарыстаць наступныя сцверджанні:

1) Калі  і існуе , то .

2) Крытэр эквівалентнасці:  калі і толькі калі .

Асімптатычныя формулы пры :

, , , , , , .

Гэтыя формулы застаюцца праўдзівымі пры , калі замест аргумента  падставіць бясконца малую пры  функцыю .

Прыклад 1. Даказаць, што .

►Няхай  і  пры , г. зн.  і . Патрэбна даказаць, што  або                                        . Сапраўды: .◄

Прыклад 2. Даказаць, што .

► Няхай , а .  Сцверджанне,  якое  трэба  даказаць, раўназначнае таму, што  (глядзі крэтыр эквіва-лентнасці), або . Сапраўды:

  .◄

Прыклад 3. Знайсці .

►Заўважым, што пры  , . Выкарыстоўваючы крытэр эквівалентнасці, будзем мець:             , (мы выкарысталі судачыненне  ).◄

Прыклад 4. Знайсці .

►З роўнасці  і непарыўнасці паказнікавай функцыі маем: . ( Мы скарысталі судачы-ненне: .)  ◄

ЗАДАЧЫ

2.165.  Ці будуць бясконца малымі наступныя функцыі: 1) ; 2) ; 3) ;  4) .

2.166.  Якія з наступных функцый ёсць бясконца вялікія: 1) : а) ,   б) ; 2) :   а) ,   б) ; 3) :     а)   б) ?

2.167.  Падайце прыклады бясконца малых пры  функцый  і  такіх, што   1) роўны 1;        2) роўны 0;         3) роўны ∞;        4) не існуе.