Ліміты і непарыўнасць. Лікавыя функцыі і паслядоўнасці. Незалежнай зменнай або аргументам функцыі, страница 7

2.118.  Дакажыце, што для функцыі Дырыхле                                 не існуе ліміт ні ў адным пункце.

2.119.  Вылічыце наступныя ліміты: 1) ;   2) ;   3) ; 4) ;          5) ; 6) ;                        7) 

2.120.  Знайдзіце ліміты: 1) ;           2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)  7) ; 8) 

2.121.  Знайдзіце ліміты: 1) ;   2) ; 3) ; 4) ; 5) ;   6) ; 7)  

2.122.  Сфармулюйце з дапамогай няроўнасцяў наступныя сцверджанні і дайце адпаведныя прыклады: 1) ;   2) ;   3) ;   4) ;    5) ;    6) ;     7) ;      8) .

2.123.  Няхай   а  Дакажыце, што: 1) ; 2) ; 3)   4) Што можна сцвярджаць пра ліміт здабытку

2.124.  Дакажыце, што наступныя ліміты не існуюць: 1) ; 2) ; 3) 

2.125.  Прывядзіце прыклад функцыі , для якой існуе  і не існуе .

2.126.  Ці існуе  , калі: 1)  2) 

2.127.  Няхай   Знайдзіце пункты, ў якіх гэтая функцыя мае ліміт.

2.128.  Знайдзіце ліміты: 1)  2)  3)  4)  5)  6)      7)  8)   9)     10)   11)           12)         13)       

2.129.  Знайдзіце: 1)   2)     3)                       4)    5)   6) 

2.130.  Дакажыце, што не заўсёды выконваецца наступнае сцверджанне пра ліміт складанай функцыі: калі  а , тады і  Разгледзьце прыклад:                           Параўнайце прыведзенае сцверджанне з тэарэмай пра ліміт скла-данай функцыі.

2.4. НЕПАРЫЎНАСЦЬ ФУНКЦЫІ

Няхай  вызначана ў некаторым ваколлі пункта . Функцыя  называецца непарыўнай у пункце а, калі . Карыстаючыся азначэннем ліміта функцыі паводле Кашы, атрымаем: функцыя  ёсць непарыўная ў пункце , калі

.

Функцыю называюць непарыўнай на мностве  калі яна непарыўная ў кожным пункце гэтага мноства.

Калі існуюць , , прычым ==, то  ёсць непарыўная ў пункце . Гэтую акалічнасць часта скарыстоўваюць пры даследаванні непарыўнасці функцый, зададзеных рознымі формуламі на розных мноствах.

Непарыўнасць складанай функцыі: з непарыўнасці функцыі  у пункце  і непарыўнасці функцыі  у пункце  вынікае непарыўнасць складанай функцыі  у пункце .

Асноўныя элементарныя функцыі: , , , трыганаметрыч-ныя і адваротныя трыганаметрычныя функцыі з’яўляюцца непарыўнымі ў пунктах іх вызначэння.

Няхай  вызначана ў некаторым ваколлі пункта , за выключэн-нем, магчыма, самога пункта . Пункт  называюць:     1) пунктам скасавальнага разрыву, калі існуе , але  або  не вызначана ў пункце ;     2) пунктам разрыву тыпу скачка, калі існуюць аднабаковыя ліміты, але  . Пункты разрыву абодвух гэтых тыпаў называюць таксама пунктамі  разрыву  першага  тыпу;     3) пунктам разрыву  другога  тыпу, калі прынамсі адзін з аднабако-вых лімітаў не існуе або бясконцы.

Функцыю  называюць раўнамерна непарыўнай на мностве , калі >0 : ,   . Падкрэслім, што адрозненне раўнамернай непарыўнасці функцыі на мностве  ад непарыўнасці на гэтым мностве ў тым, што ў азначэнні раўнамернай непарыўнасці  залежыць толькі ад  і не залежыць ад .

    Тэарэма Кантара. Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку.

Прыклад 1. Даследаваць на непарыўнасць і вызначыць тып пунктаў разрыву функцыі

►Возьмем адвольны пункт  і дакажам непарыўнасць  у гэтым пункце. Разгледзім  – акругу пункта , дзе  задавальняе ўмову . У гэтай акрузе  супадае з функцыяй , калі , або з функцыяй , калі . Абедзве гэтыя функцыі (як элементарныя) непарыўныя ў пункце . Засталося даследаваць непарыўнасць  у пункце . Паколькі  злева і справа ад гэтага пункта вызначаецца рознымі формуламі, то разгледзім аднабаковыя ліміты гэтай функцыі ў пункце . Маем: , а . Паколькі аднабаковыя ліміты існуюць, але няроўныя паміж сабой, заключаем, што ў пункце  функцыя мае разрыў першага тыпу. ◄