Дыферэнцыяльнае злічэнне. Вытворная і дыферэнцыял. Адпаведна левабаковай і правабаковай вытворнымі функцыі, страница 4

Тэарэма. Няхай функцыя  ёсць строга манатонная і непарыўная на прамежку Т і функцыя  – яе адваротная функцыя. Няхай функцыя  дыферэнцавальная ў пункце , прычым. , а функцыя  – вызначаная на прамежку Т і дыферэнцавальная  ў пункце. Тады складаная функцыя ,якая вызначаецца роўнасцямі (1),  ёсць дыферэнцавальная ў пункце  і .

□ На падставе тэарэмы пра дыферэнцавальнасць адваротнай функцыі, функцыя   ёсць дыферэнцавальная ў пункце  і

.                                 (2)

Згодна з тэарэмаю пра дыферэнцавальнасць складанай функцыі функцыя  ёсць дыферэнцавальная ў пункце , прычым

. ■

Такім чынам, маем формулу

 , дзе .

Прыклад 1. Вылічыць вытворную функцыі, зададзенай параметрычна 

.                            (3)

(Зазначым, што функцыя  неманатонная на , але манатонная як на , так і на . Што за крывая?)

► . З другога боку, калі з роўнасцяў (3) выключыць параметр t, то , адкуль атрымаецца функцыя , вытворная якой . Улічваючы роўнасці (3), маем . ◄

Вытворная другога парадка функцыі, зададзенай параметрычна, вылічаецца наступным чынам:

.

Аналагічна вылічаюцца вытворныя наступных парадкаў.

2º. Няяўная функцыя. 

Няхай Е—мноства пунктаў  плоскасці . Калі кожнаму пункту  ставіцца ў адпаведнасць паводле некаторага правіла лік , то кажуць, што на мностве Е зададзена лікавая функцыя  ад дзвюх зменных х і у: .

Напрыклад, аб’ём конуса  ёсць функцыя дзвюх зменных r і h.

Няхай прамавугольнік  змяшчаецца ў абсягу вызначэння функцыі  і няхай . Калі на адрэзку  існуе функцыя  такая, што  і , то кажуць, што раўнанне  вызначае на прамавугольніку  у як няяўную функцыю зменнай x. 

Напрыклад, раўнанне  вызначае дзве няяўныя функцыі .

Пытанне аб умовах існавання няяўнай функцыі  будзем высвятляць у другім семестры.

Калі прадыферэнцаваць тоеснасць  як складаную функцыю, можна атрымаць вытворную .

Прыклад 2. З раўнання  маем . Адкуль атрымаем

.

§3.9. Уласцівасці функцый, непарыўных на адрэзку.

Тэарэма Бальцана-Кашы  (аб прамежкавым значэнні). Калі функцыя f ёсць непарыўная на адрэзку  і , то для кожнага рэчаіснага ліку γ , які размяшчаецца паміж f(a) і f(b), існуе прынамсі адзін пункт  

□ Няхай для пэўнасці . Разгледзім дапаможную функцыю , якая непарыўная на  і . Для доказу тэарэмы дастаткова паказаць, што існуе пункт  

Няхай . Гэтае мноства непустое   і абмежаванае зверху, напрыклад, лікам b. Згодна з тэарэмаю пра межы існуе лік . Паколькі , то на падставе тэарэмы пра стабілізацыю знаку існуе поўінтэрвал , на якім  і таму . Аналагічна атрымліваецца, што . Гэта азначае, што  

Пакажам, што ў гэтым пункце . Сапраўды, калі дапусціць процілеглае, што , то існуе акруга пункта , дзе  захоўвае знак . Але справа ад  функцыя , а злева, згодна з азначэннем , у кожнай акрузе існуе пункт, у якім . Гэта значыць, што

.

Такім чынам, . (Як правесці доказ у выпадку ? )  ■

Няхай функцыя  мае графік  . Які з пунктаў ёсць ?

Функцыя   не набывае значэнняў паміж –1/2 і 1/2, бо ёсць разрыўная.

Але ўмова непарыўна-сці не з’яўляецца неабходнаю для існа-вання . Напрыклад,

Першая тэарэма Ваерштраса (пра абмежаванасць функцыі). Калі функцыя f ёсць непарыўная на адрэзку , то яна абмежаваная на гэтым адрэзку, г.зн. .  

□ (ад процілеглага) Няхай f – неабмежаваная на , г. зн.

 .

Возьмем  і пабудуем  лікавую паслядоўнасць  

, г. зн. . Паколькі – абмежаваная , то згодна з тэарэмаю Бальцана-Ваерштраса (прынцып выбару) з яе можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць . Няхай –яе ліміт. Паколькі , то з тэарэмы пра лімітавы пераход у няроўнасці маем . Паколькі f –непарыўная у пункце , то , але гэта немагчыма, паколькі –бясконца вялікая паслядоўнасць як падпаслядоўнасць бясконца вялікай паслядоўнасці . Такім чынам, дапушчэнне непраўдзівае, а тым самым f – абмежаваная. ■