Дыферэнцыяльнае злічэнне. Вытворная і дыферэнцыял. Адпаведна левабаковай і правабаковай вытворнымі функцыі, страница 3

Метадам матэматычнай індукцыі няцяжка атрымаць формулы для вылічэння вытворных вышэйшых парадкаў асноўных элементарных функцый.

1º. Ступеневая функцыя: .

. Па індукцыі .

У прыватнасці, калі , то . Такім чынам,  n-я  вытворная мнагаскладу m-й  ступені ёсць роўная нулю, калі n>m . Чаму роўная ? 

2º. Паказнікавая функцыя:  .

 . Па індукцыі

. У прыватнасці .

3º. Лагарыфмічная функцыя:

 .

Па індукцыі .

У прыватнасці .

4º. Сінус і косінус:  .

          .

Па індукцыі .

У прыватнасці  ,    .

Аналагічна   .

У прыватнасці  ,    .

На падставе атрыманых формул пры А=const., маем:

 ,   .

5º. Гіпербалічныя функцыі:

На падставе табліцы вытворных маем:

.

§3.6. Правіла Ляйбніца.

У той час як правіла вылічэння  першай вытворнай ад сумы дзвюх функцый  лёгка пераносіцца на выпадак n-й вытворнай , пры вылічэнні n-й вытворнай ад здабытку дзвюх функцый узнікаюць пэўныя цяжкасці. Як вядома . Але

Тэарэма (правіла Ляйбніца).  Калі функцыі uiv маюць у пункце х вытворныя п-га парадку, то функцыя  таксама мае ў гэтым пункце вытворную п-га парадку, прычым   

□ Доказ правядзем метадам матэматычнай індукцыі.

Няхай . . Формула праўдзівая.

Дапусцім, што формула праўдзіцца для n=m.

Разгледзім

■

Прыклад 1. Вылічыць вытворную  функцыі .

► Возьмем . Маем

◄

Прыклад 2. Вылічыць вытворную  функцыі .

► Возьмем . Маем

◄

§3.7. Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў.

def. Калі функцыя  ёсць дыферэнцавальная  ў некаторай акрузе  пункта , то яе  дыферэнцыял

  =                                                  (1)

называюць першым дыферэнцыялам функцыі  у пункце .

Калі пры гэтым дыферэнцыял , які супадае з прыростам  незалежнай зменнай , не мяняецца, то дыферэнцыял  ёсць функцыя толькі ад  ().

def. Дыферэнцыял ад функцыі  ў пункце  называюцьдругім дыферэнцыялам, або дыферэнцыялам другога парадку функцыі у пункце  і абазначаюць

.

Выкарыстоўваючы формулу (1) і ўлічваючы, што , атрымоўваем

.

Па індукцыі вызначаецца

 

калі .

Пры гэтым няцяжка паказаць метадам матэматычнай індукцыі, што

                                                 (2)

Адсюль атрымліваем

– яшчэ адзін спосаб для абазначэння вытворнай n – га парадку .

Калі разгледзець ідэнтычную функцыю  то з формулы (2) вынікае, што    .

Заўвага. Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў, у адрозненні ад першага дыферэнцыяла, не маюць уласцівасці інварыянтавасці формы, г. зн. формула (2) не праўдзіцца, калі замяніць  на функцыю .         

Сапраўды,  ёсць складаная функцыя і таму  Адкуль атрымліваем

, або

– у адрозненні ад фрмулы (2) тут маецца дадатковы складнік . Але, калі , то , і ў гэтым выпадку выгляд другога дыферэнцыяла не змяняецца.

Па гэтай прычыне пры вылічэнні дыферэнцыялаў складаных функцый больш зручным уяўляецца выкарыстанне паслядоўнага вылічэння: спачатку вылічаецца першы дыферэнцыял, затым другі і г.д.

Пры вылічэнні дыферэнцыялаў выкарыстоўваюць наступныя правілы:

1.                             4.

2.                              5.

3.                      6. .

Прыклад: Вылічыць  функцыі     

►   

◄

§3.8.  Дыферэнцаванне параметрычна зададзеных

і няяўных функцый.

1º. Параметрычная функцыя.

Няхай на некаторым прамежку Т лікавай восі t зададзены дзве функцыі 

,                                                      (1)

Калі функцыя  ёсць строга  манатонная, то існуе адваротная функцыя    , якая вызначана на мностве . Разгледзім складаную функцыю   , вызначаную на мностве . Кажуць, што функцыя зададзена параметрычна роўнасцямі (1).

Калі  і  непарыўныя на Т, то адваротная функццыя  ёсць непарыў-ная на , а таму складаная функцыя  таксама непарыўная на .