Вычисление переходной реакции цепи. Вычисление интеграла Дюамеля

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Задание на курсовую работу:

Схема:

R

 


R                                       R

 

2R                                   L

 

Входной сигнал:

U, B

 

0                                     2                                        4               t, мc

 

5

 

10

 

I.  Вычисление переходной реакции цепи

Переходная реакция цепи вычисляется как реакция цепи на входное воздействие в виде единичной функции 1(t). Численно она равны напряжению на выход цепи и равна:

Состояние цепи по-прошествии бесконечно большого отрезка времени.

Напряжение на выходе цепи будет равно:

I2 = 1/2I1 => U2 = I2*Rэкв

Rэкв =

U2 = I2*Rэкв = 0,856*0,5 = 0,428 В

Cостояние цепи в момент времени t = 0+.

Напряжение на выходе цепи будет равно:

U2 = 1/2U1 = 0.5B

Из выше рассчитанных данных получим величину свободной составляющей:

U2 = 0,428+A*ept => 0.5 = 0.428+A => A=0.072

Рассчитаем P:

т = => P = - = -1200

Окончательно имеем: g(t)=0.428+0.072*e-1200t

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем импульсную характеристику H(jw) цепи через g(t), логическая цепочка для расчета выглядит следующим образом:

g(t) => h(t) => h(jw)

h(t) = g`(t)+g(0)*6(t) = 0.5*6(t)+0.072*(-1200)e-1200t =>

h(jw) = =0.5- = 0.5- =

II.  Вычисление интеграла Дюамеля:

Весь отрезок времени разбивается на 3 интервала. Границы интервалов приходятся на t0=0 mc, t1=2 mc, t2=4 mc. Значения функции входного сигнала и его производных на каждом интервале в отдельности приведены ниже. Выходное напряжение запишется так:

Первый интервал:

0 ≤ t ≤t1

U(0) = 10 B

U(t) = 10

U’(t) = 0

U2(t) = U(0)*g(t)+ = 4.28+0.72*e-1200t

 

 

Второй интервал:

t1 ≤ t ≤t2

U(t1) = -5 B

U(t) = -2500 B/c

U’(t) = 0

U2(t) = U(0)*g(t)++ U(t1)*g(t-t1)+  = 4.28+0.72*e-1200t – 2.14 – 0.36* e-1200(t-t1) +2.14 – 1070t+0.15* e-1200t = 4.28+0.51 e-1200t-1070*t

Третий интервал:

t2 ≤ t ≤ ∞

U(t2) = 0 B

U(t) = -2500 B/c

U’(t) = 0

U2(t) = U(0)*g(t)++ U(t1)*g(t-t1)+  + U(t2)*g(t-t2)+  = 4.28+0.72*e-1200t – 2.14 – 0.36* e-1200t +2.12 – 1070t+0.15* e-1200t = 4.28-2.14+0.72* e-1200t-0.36* e-1200t – 2.14 = 0.36* e-1200t

График функции на выходе построен при использовании программы DML.

T, mc

U, B

0

5

0.25

4.813

0.5

4.675

0.75

4.573

1

4.497

1.25

4.441

1.5

4.399

1.75

4.368

2(-)

4.345

2(+)

1.845

2.25

1.615

2.5

1.374

2.75

1.125

3

0.87

3.25

0.611

3.5

0.349

3.75

0.085

4

0.18

 
 


III.  Нахождение спектральной плотности входного сигнала.

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала функция сигнала U1(t) представляется в виде суммы четырёх «простейших» функций, изображенных ниже.

                    

f1(t) = 0, при t<0       f1(t) => F2(p) =

f1(t) = 10, при t≥0

f2(t) = 0, при t<0       f2(t) => F2(p) = -  e-pt1

f2(t) = -5, при t≥0

f3(t) = 0, при t<0       f3(t) => F3(p) = -  e-pt1

f3(t) = -2500*t, при t≥0

f4(t) = 0, при t<0       f4(t) => F4(p) =  e-pt2

f4(t) = 10, при t≥0

Изображение входного сигнала записывается как сумма «простейших» функций:

F(p) = F1(p)+F2(p)+F3(p)+F4(p) =  -  e-pt1 -  e-pt1 +  e-pt2 = -coswt1

-  coswt1 +  coswt2 – j(sinwt1 +  sinwt1 -  sinwt2)

АЧХ спектральной плотности входного сигнала:

U1=

Его фазовая характеристика:

=arctg=  

F, кГц

S1(f)

Ф1(w)

H(w)

ФН(w)

U2(w)

Ф2(w)

0.15

17.798

95.762

0.429

0.051

7.628

68.745

0.3

6.794

110.22

0.429

0.103

2.912

110.32

0.45

2.394

111.74

0.429

0.154

1.026

111.9

0.6

2.724

57.647

0.429

0.206

1.168

57.85

0.75

3.194

93.957

0.429

0.257

1.369

94.214

0.9

1.654

117.19

0.429

0.309

0.709

117.49

1.05

0.0997

61.865

0.429

0.36

0.427

62.225

1.2

1.96

79.834

0.429

0.411

0.84

80.246

1.35

1.42

112.47

0.429

0.463

0.609

112.93

1.5

0.533

90.547

0.429

0.514

0.229

91.086

1.65

1.366

91.524

0.429

0.617

0.586

92.124

1.8

1.277

102.9

0.429

0.668

0.535

103.5

1.95

0.548

115.44

0.429

0.72

0.235

116.11

2.1

0.742

59.66

0.429

0.771

0.318

6038

2.25

1.064

91.07

0.429

0.823

0.455

91.84

2.4

0.693

118.5

0.429

0.874

0.274

119.32

2.55

0.409

63.247

0.429

0.925

0.175

64.121

2.7

0.856

78.666

0.429

0.977

0.367

79.591

2.85

0.689

112.23

0.429

1.028

0.295

113.21

3

0.236

91.094

0.429

1.176

0.114

92.112

  

Спектр входного сигнала S1(F)                          Спектр входного сигнала Q1(F)

График АЧХ цепи                                          График ФЧХ цепи

Спектр выходного сигнала S2ц(F)          Спектр выходного сигнала Q2(F)


IV.  Передаточная функция по напряжению цепи равна:

Для упрощения расчетов нам необходимо преобразовать исходную схему цепи методом «звезды», получим:

где Z10 = R+2R+=    

Z30 = R+PL+=

Z13 = 2R+PL+=

 

 
 


U2 = *;

Zэкв = +=+ = ;

H = ==;

Результат расчета совпадает с рассчитанной формулой для H(jw) в пункте I.

V.  Дискретизация.

Исходя из данных таблицы необходимо выбрать частоту дискретизации равную 10кГц. Данная частота позволяет наиболее точно представить входной сигнал в виде дискретных отсчетов.

Дискретные значения импульсной характеристики вычисляются по формуле:

H(n)=0.428*6(n)-T*86.4 e-1200*T*n

Дискретные значения функции входного сигнала и импульсной характеристики:

t, мс

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

U1(t)

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

5

H(n)

0.43664

-0.0077

-0.0068

-0.006

-0.0053

-0.0047

-0.0042

-0.0037

-0.0033

-0.0029

-0.0026

-0.0023

-0.0020

-0.0018

-0.0016

-0.0014

-0.0013

-0.0011

-0.001

-0.0009

-0.0008

t, мс

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4.0

N

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

U1(t)

4.8

4.5

4.3

4

3.8

3.5

3.3

3.0

2.8

2.5

2.3

2

1.8

1.5

1.3

1

0.8

0.5

0.3

0

H(n)

-0.0007

-0.0006

-0.0005

-0.0005

-0.0004

-0.0004

-0.0003

-0.0003

-0.0003

-0.0002

-0.0002

-0.0002

-0.0002

-0.0001

-0.0001

-0.0001

-0.0001

-0.0001

-0.0001

-0.0001

Дискретные значения сигнала на выходе цепи вычисляются с помощью формулы дискретной свертки:

U2(t)=

Дискретный сигнал на выходе цепи:

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

t, мс

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

U2(n)

4.91

4.84

4.77

4.71

4.66

4.61

4.57

4.53

4.5

4.47

4,45

4.44

4.41

4.39

4.38

4.36

4.35

4.33

4.32

4.31

1.85

N

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

t, мс

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4.0

U2(n)

1.75

1.66

1.57

1.47

1.37

1.27

1.17

1.07

1.97

0.87

0.77

0.67

0.57

0.46

0.36

0.26

0.15

0.05

-0.06

-0.16

Спектральная характеристика  дискретизированного сигнала U1(t) могут быть вычислены на любой частоте, однако для упрощения расчетов целесообразно ограничиться 4-5 значениями частоты, на которых показательная функция ejwnt легко вычисляема:

U1(0) = T *

Результат вычисления спектральной плотности дискретизированного сигнала U1(t) по формуле:

U1(jw) = T*

U1(0) = 20.25

U1(1250) = 0.75

U1(2500) = 0.25

U1(3750) = 0.75

U1(5000) = 20.25

Z-преобразование дискретной цепи, дискретные значения которой H(n) приведены в таблице, записывается в виде:

Н(Z) = 0.428-

Учитывая, что Z-преобразование входного и выходного дискретных сигналов связаны между собой соотношением Y(Z)=X(Z)*H(Z), можем записать:

Y(Z) =X(Z)*

Путем несложных математических преобразований мы получаем:

Y(Z) = X(Z)*0.42-X(Z)*0.3796*Z-1+Y(Z)*0.887*Z-1

Схема дискретной цепи, реализующее это состояние, имеет вид:

Похожие материалы

Информация о работе