(23.19)
(23.20)
где ** -- непрерывный индекс или совокупность непрерывных индексов, характеризующих состояние.
2. Теория возмущений для вырожденных состояний
Как правило, стационарные состояния квантовых систем являются вырожденными -- одному энергетическому уровню отвечают несколько различных состояний. Примером вырожденных состояний могут служить стационарные состояния атома водорода ***, для которого энергетические уровни ** зависят только от главного квантового числа * и не зависят от орбитального числа * и магнитного числа *.
Рассмотрим квантовую систему с дискретными энергетическими уровнями ** и волновыми функциями **, определяемыми уравнением
(23.21)
где ** -- степень вырождения энергетического уровня с номером *.
Подействуем на эту систему возмущением, описываемым оператором *. Конкретный вид системы, а также возмущения, действующие на нее, нас пока не интересуют.
Как и в предыдущем случае, волновую функцию возмущенной системы ищем в виде разложения
(23.22)
и для его коэффициентов получаем систему уравнений
(23.23)
где
(23.24)
(23.25)
Существенным отличием системы уравнений (23.23) от уравнений (23.6), выведенных для невырожденного случая, является то, что при стремлении возмущения к нулю (***) мы получим для **, т.е. для состояния, поправка к которому нас интересует:
***
когда ***, отличными от нуля оказывается уже не один коэффициент **, как было раньше, а целая совокупность коэффициентов **, число которых равно ** = степени вырождения уровня.
Таким образом, решение нулевого приближения для состояния с *** должно представлять собой суперпозицию
(23.26)
Конкретный вид этой суперпозиции, т.е. значение коэффициентов ***, требует определения. Решение этой задачи можно получить с помощью системы уравнений (23.23), предполагая, что при отыскании приближения к состоянию с энергетическим уровнем *** справедливо неравенство
***
при ** и произвольных * и *. Отделяя в уравнении (23.23) величины главного порядка, мы будем иметь
(23.27)
Опуская в этом уравнении индекс * и вводя обозначение ***, приведем его к виду:
(23.28)
Таким образом, мы получили систему ** линейных однородных уравнений. Для того чтобы она имела ненулевое решение, необходимо потребовать обращения в ноль определителя системы
(23.29)
Число строк и столбцов у определителя равно **. Его раскрытие приводит к алгебраическому уравнению степени ** относительно величины **. В общем случае оно имеет ** различных вещественных корней **. Носит оно название секулярного уравнения. С французского этот термин переводится как "вековое уравнение" и свое происхождение ведет от небесной механики.
Итак, полученный результат сводится к следующему. Под влиянием возмущения энергетический уровень ** расщепляется на несколько уровней
(23.30)
число которых равно числу различных корней секулярного уравнения.
В этом случае говорят, что возмущение снимает вырождение уровня
**. Снятие вырождения будет полным, если число образовавшихся уровней равно степени вырождения **, и частичным -- если оно меньше **.
Причиной вырождения квантовых состояний является та или иная симметрия задачи. Так, при движении частицы в центрально-симметричных полях состояния оказываются вырожденными по направлению орбитального момента. Энергия стационарных состояний не зависит от значения проекции момента на любое заданное направление. Это вырождение обусловлено изотропией пространства.
В частном случае центрально-симметрического поля, а именно в кулоновском поле (***), возникает дополнительное вырождение -- вырождение по абсолютной величине момента. Этот тип вырождения связан с особыми свойствами симметрии, уже не имеющей простого связан с особым свойством симметрии. уже не имеющей геометрического истолкования.
Как правило, частичное или полное нарушение симметрии приводит к частичному или полному снятию вырождения.
Если любой из корней секулярного уравнения подставить в (23.28), мы получим систему уравнений
(23.31)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.