Вторая часть лекционного курса по нерелятивистской квантовой механике, страница 12

Используя формулы (22.11), (22.13) и (22.15), в которых следует положить ***, находим (в обозначениях (20.12))

(22.17)

Таким образом, мы приходим к результату, совпадающему с полученным ранее (см. формулы (20.15), (20.16) из соображений симметрии.

2. Сложение орбитального и спинового моментов отдельного электрона.

В этом случае мы имеем

*** .

При *** суммарный момент *** принимает значения

*** .

Для *** мы будем иметь

(22.18)

При этом формулы (22.13) и (22.15) приобретают вид:

(22.19)

Применяя к этим равенствам оператор *** и используя правило действия "понижающих операторов" (22.10), а также взаимную ортогональность функций, можно получить следующие соотношения

(22.20)

для *** ,

(22.21)

для ***.

Как видим, в рассматриваемом случае, кстати говоря, очень важном для приложений, все коэффициенты Клебша-Гордана имеют замкнутые и простые выражения, хотя сам их вывод, подробности которого здесь опущены, весьма громоздок. Функции (22.20) и (22.21) носят название шаровых спиноров и находят широкое применение в квантовомеханических расчетах.

Рассмотренное выше сложение двух моментов составляет лишь одну из задач общей квантовомеханической проблемы -- сложения моментов. В расчетах многоэлектронных атомов приходится иметь дело со сложением трех и большего числа моментов. При этом возникают некоторые новые принципиальные вопросы, на одном из которых мы здесь кратко остановимся.

Прежде всего заметим, что уже при расчете двухэлектронного атома или иона мы имеем дело с четырьмя моментами: двумя орбитальными **, ** и двумя спиновыми **. (Здесь не упомянуто о пятом моменте -- Спине ядра, существование которого приводит к сверхтонкому расщеплению атомных термов.)

Межэлектронное кулоновское взаимодействие, спин-орбитальное взаимодействие, а также непосредственное спин-спиновое взаимодействие приводят к тому, что сохраняется лишь полный момент системы

(22.22)

и, таким образом, возникает проблема суммирования четырех моментов.

Следовательно, алгебраическое правило ассоциативности

***

в проблеме сложения квантованных моментов служить отказывается.

Оно нарушается в том смысле, что, выбирая разные способы сложения, мы будем получать различные собственные функции полного момента ***. Дело здесь в том, что величины * и * уже не полностью определяют состояние системы, как это имело место при сложении двух моментов * и *, когда совокупности квантовых чисел (**, **) и чисел (***) были равными по своему количеству и составляли два равноценных "полных набора". (Слова "полный набор" взяты в кавычки, поскольку речь здесь идет только об угловых и спиновых переменных, отдельных благодаря закону сохранения момента от радиальных переменных системы.) При этом функция ** оказывается зависящей от способа суммирования моментов. Выбор способа диктуется физической постановкой задачи. Поясним это на примере двухэлектронной системы.

Предположим, что из двух причин, приводящих к несохранению момента отдельного электрона, а именно межэлектронного кулоновского и спин-орбитального взаимодействия, последней причиной в нулевом приближении можно пренебречь и рассматривать ее влияние как слабое возмущение. При таком предположении суммарный орбитальный и суммарный спиновый моменты в нулевом приближении оказываются независимыми, и тогда образование полного момента системы должно проводиться по схеме

(22.23)

Такая схема суммирования получила название схемы **-связи, которая еще известна  как схема Рассела-Саундерса.

Однако возможна и другая постановка задачи, когда справедливым оказывается предположение о том, что спин-орбитальное взаимодействие является значительно более сильным, чем межэлектронное. Это имеет место в достаточно тяжелых атомах или ионах, у которых ***. Тогда в нулевое приближение следует включить спин-орбитальное взаимодействие, а межэлектронное взаимодействие рассматривать как малое возмущение. При этом образование полного момента системы должна проводиться по схеме

(22.23)