Вторая часть лекционного курса по нерелятивистской квантовой механике, страница 15

Как **, так и ** считаются известными.

Разложим искомую функцию ** по функциям **:

(23.4)

и, подставив это разложение в (23.2), получим

(23.5)

Умножая равенство (23.5) на ** и интегрируя по всему конфигурационному пространству системы, находим

(23.6)

где введено обозначение

(23.7)

Совокупность величин ** образует матричное представление оператора возмущения *, а система линейных однородных уравнений (23.6) есть не что иное, как уравнение (23.2) в матричном представлении.

Будем искать значения коэффициентов ** и энергии ** в виде разложений

(23.8)

предполагая, что величины **, ** имеют тот же порядок малости, что и возмущение *, величины **, ** -- второй порядок малости и т.д. Другими словами, **, ***.

Подставим разложение (23.8) в систему уравнений (23.6):

(23.9)

и приравняем величины одного порядка малости по возмущению. Это даст следующую цепочку соотношений:

(23.10)

С помощью этих соотношений величины, имеющие малость ***, могут быть выражены через величины ***. Таким образом, построено приближенное решение с нужной степенью точности.

Предположим, что в отсутствие возмущения система находилась в состоянии с волновой функцией ** и энергией **. Это означает, что в соотношениях (23.10) необходимо положить

***

Эти предположения удовлетворяют первому из уравнений (23.10).

Найдем теперь поправки первого порядка по возмущению. Они определяются вторым из уравнений системы (23.10), которое при сделанных предположениях приобретает вид:

(23.11)

При ** из (23.11) мы получим

(23.12)

Таким образом, поправка первого приближения к энергии *-го состояния совпадает со средним значением возмущения в состоянии ***. При *** мы будем иметь

(23.13)

Суммарная поправка к волновой функции *** должна быть малой по сравнению с нулевым решением. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство

***

которое согласно (23.13) может быть переписано в виде:

(23.14)

Отсюда следует, что для справедливости теории возмущений необходимо, чтобы матричные элементы возмущения были малы по сравнению с разностью соответствующих невозмущенных энергетических уровней.

Формула (23.13) определяет все коэффициенты первого порядка малости в разложении (23.4), кроме коэффициента **, остающегося пока неопределенным. Для волновой функции с точностью до членов первого порядка по возмущению мы получаем выражение

(23.15)

Штрих над знаком суммы означает исключение слагаемого с ***. Значение величины ** определяется из условия нормировки: необходимо потребовать, чтобы нормировочный интеграл был равен единице с принятой на данном этапе вычислений точностью, т.е.

***

В силу того, что первое слагаемое в формуле (23.15) ортогонально второму, для выполнения нормировки с нужной точностью необходимо положить

***

Итак, мы имеем окончательный  результат:

(23.16)

Перейдем теперь ко второму порядку теории возмущения, которому отвечает третья строка в соотношениях (23.10). Перепишем ее с учетом результатов нулевого и первого приближений:

(23.17)

Полагая ***, находим поправку к энергии:

(23.18)

Мы здесь воспользовались эрмитовостью оператора **, благодаря чему ***.

Из формулы (23.18) видно, что поправка второго приближения к энергии основного состояния системы всегда отрицательна.

Поправка второго приближения к волновой функции может быть найдена из соотношения (23.17), если положить в ней ***. Эта поправка нам в дальнейшем не понадобится, и соответствующую формулу мы выписывать не станем.

В заключение настоящего раздела следует заметить, что все формулы, полученные выше в предположении о дискретности энергетического спектра и невырожденности состояний нулевого приближения, сохраняют свое значение и в менее жестких предположениях. Достаточно считать, что дискретным и невырожденным является лишь то состояние, поправки к которому нас интересуют. если у квантовой системы наряду с дискретным имеется и непрерывный участок спектра, то соответствующие формулы для поправок к волновой функции (формула (23.16)) и энергии (формула (23.18)) приобретают вид: