Получение навыков количественных оценок эффектов и явлений в структуре полупроводников и интегральных микросхем, страница 6

Важнейшим выводом, вытекающим из теории Зоммерфельда, является установление квантовой природы носителей заряда, а именно: квантование энергии и импульса. То есть нельзя с позиций классических представлений определить характеристики электрона в определенном объеме локализации. Была установлена взаимосвязь волновой функции с энергией, вероятностные характеристики координат частиц. Но теория Зоммерфельда не дает ответа на главный вопрос: как распределяются по энергиям электроны в составе некоторой системы.

Для решения основной задачи необходимо знать закон распределения электронов по состояниям. Такая задача решается в рамках статистики Ферми-Дирака. Исходя из статистической теории, был разработан закон равновесной вероятности распределения электронов по состояниям.

Второй закон термодинамики для равновесного распределения является с одной стороны наиболее вероятным, с другой стороны, система может находиться в нем неограниченно большое время, с третьей стороны, система обладает в таком состоянии минимальной внутренней энергией. В основе положений теории Ферми-Дирака лежит следующее:

1.одинаковые частицы (электроны в твердом теле) неразличимы, обмен состояниями между двумя любыми парами частиц не изменяет системы в целом;

2. электроны подчиняются принципу Паули: в одном состоянии могут находиться не более двух электронов с противоположными спинами;

3. число состояний в конечном интервале конечно.

Пусть в некотором интервале энергии  имеется некоторое число состояний dZ и некоторое число электронов N. Тогда вероятность нахождения я электрона в этом интервале:

где dn – число фактически находящихся в этом интервале электронов.

Функция распределения электронов по состояниям – вероятность заполнения одного состояния в интервале энергии  :

До этого мы рассматривали ситуацию в многоэлектронном истолковании, теперь же переходим к одноэлектронному приближению. Если известна величина , то мы можем определить для любой системы вероятность заполнения всех существующих состояний, а при известном числе состояний ещё и общее число электронов.

Исходя из общих законов статистики, функция распределения была определена:

,

Введение функций распределения  создает предпосылки для решения основной задачи, используя определение функции плотности распределения и функции распределения по состояниям. Проблема сводится к определению вида функции  . Применительно к квантовым системам Ферми и Дираком эта функция была найдена:

где W – значение энергии, вблизи которого мы рассматриваем приращения, kT  - энергия теплового движения электрона, ε – некоторое значение энергии, при котором вероятность заполнения составляет 50% - уровень электрохимического потенциала – уровень Ферми. Положения уровня Ферми определяет свойства электронной системы. Рассмотрим случаи:

1.  нулевых температур и малых энергий;

2.  малых, но отличных от нуля температур.

Деформация (сглаживание) функции по мере возрастания температур означает, что возрастает вероятность заполнения состояний на уровнях, расположенных выше уровня Ферми. То есть появляются состояния на энергетических уровнях выше уровня Ферми с небольшой, но отличной от нуля вероятностью заполнения. Плотная упаковка сферы в пространстве импульсов разрыхляется в поверхностном слое, и за пределами этой сферы появляются новые состояния. При дальнейшем увеличении температуры вырождение отсутствует.

В металлах электронная система вырождена при комнатной температуре, то есть 98% электронов металла находятся на уровнях, отстоящих от уровня Ферми на величину kT. То есть для металлов функция распределения имеет тот же самый вид, как и при Т = 0⁰ . В полупроводниках же система является невырожденной, распределение происходит так же, как в классической системе.

Лекция № 7

Состояние электронов в  металлах

Функция распределения Ферми-Дирака:

.