Исследование законов распределения различных случайных процессов

Цель работы: исследование законов распределения различных случайных процессов – нормального шума, гармонического и  треугольного сигналов со случайными начальными фазами, суммы случайных взаимно независимых сигналов.

Теоретическая часть:

Случайный процесс – это изменение во времени физической величины (тока, напряжения и др.), значение которой невозможно заранее предсказать с вероятностью, равной единице.

Статистические свойства случайного процесса Х(t) можно определить, анализируя совокупность случайных функций времени , называемую ансамблем реализаций. Здесь k – номер реализации.

Статистические свойства случайного процесса характеризуются законами распределения, аналитическими выражениями которых являются функции распределения. Одномерная интегральная функция распределения вероятностей случайного процесса

где  - вероятность того, что мгновенное значение случайного процесса в момент времени t примет значение, меньшее или равное x.

Одномерная дифференциальная функция распределения случайного процесса, или плотность вероятности, определяется равенством

Одномерная плотность вероятности мгновенных значений суммы взаимно независимых случайных процессов  определяется формулой

, где - плотности вероятности процессов X(t),Y(t),Z(t).

Наиболее распространенными моментными функциями случайного процесса, определяемыми по одномерной плотности, являются:

- среднее значение (первый начальный момент)

;

- дисперсия (второй начальный момент)

Для стационарных случайных процессов выполняются условия:

Статистические характеристики случайных процессов, имеющих эргодические свойства, можно найти также по времени одной реализации  продолжительностью T:

- среднее значение

;

- дисперсия

;

- интегральная функция распределения

, где  - относительное время пребывания реализации ниже уровня x;

- плотность вероятности

, где - относительное время пребывания реализации в интервале  [].

Периодический сигнал со случайной фазой, равномерно распределенной  интервале от  до ,является стационарным эргодическим случайным процессом.

Для гармонического сигнала с амплитудой  и случайной начальной фазой , равномерно распределенной в интервале от до ,

плотность вероятности мгновенных значений

,  ;

дисперсия ;        математическое ожидание .

Для пилообразного сигнала, имеющего максимальное значение А и случайную равномерно распределенную фазу, плотность распределения вероятностей мгновенных значений

;

дисперсия ; математическое ожидание равно нулю.

Плотность вероятности стационарного нормального шума с дисперсией  и математическим ожиданием

Структурная схема статистического анализатора, позволяющего экспериментально отыскивать дифференциальный закон распределения по точкам и наблюдать его на экране осциллографа:

Сумматор и источник постоянного регулируемого напряжения позволяют использовать амплитудные селекторы с нерегулируемыми порогами срабатывания и обеспечивают возможность анализа сигналов различной полярности. На передней панели лабораторного статанализатора расположены клеммы «Вход», «Выход», «Уровень анализа».Требуемый уровень анализа подается от внешнего источника постоянного напряжения на клемму «Уровень анализа» и измеряется вольтметром. Порог амплитудного селектора первого канала выбирают нулевым; у амплитудного селектора второго канала порог селекции отличен от нуля на величину , называемую шириной канала анализа. С помощью амплитудных селекторов образуются прямоугольные импульсы, длительность которых равна времени пребывания входного сигнала ниже порогов срабатывания. Величина постоянной составляющей последовательности импульсов на выходе селектора первого канала пропорциональна ; на выходе селектора второго канала - , а на выходе вычитающего устройства

Выделение постоянной составляющей импульсов осуществляется интегратором и индикатором, функции которого при снятии закона распределения по точкам выполняет вольтметр постоянного тока.

Наблюдать законы распределения на экране осциллографа можно, если автоматически изменять уровень анализа синхронно с напряжением развертки осциллографа. Для этого можно использовать пилообразное напряжение развертки осциллографа, вход вертикального отклонения которого подключается к выходу статанализатора.

Практическая часть:  

Таблицы измерений

А=6,4 мВ      f=20 кГц                  делитель=50мВ/см

X	0	0.5	1	1.5	2	2.5	-0.5	-1	-1.5	-2	-2.5
Y	4	3.5	2	1.5	0.3	0	3	2.9	2.5	1.6	0.1

А=7,5 мВ       f=20 кГц                 делитель=0,1мВ/см

X	0	0,5	1	1,5	2	2,5	-0,5	-1	-1,5	-2	-2,5	-3	-3,5
Y	3	2,9	2,2	1,3	1	0,1	3,2	3	2,7	2,1	1,1	0,3	0

А=5,5 мВ       f=600 кГц                 делитель=0,1мВ/см

X	0	0,5	1	1,5	2	-0,5	-1	-1,5	-2	-2,5	-3
Y	3,2	3	2	1	0,1	3,5	3,1	2,5	1,5	0,7	0

А=7,5 мВ       f=20 кГц                 делитель=0,1мВ/см

X	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	-0.5	-1	-1.5	-2	-2.5	-3	-3.5	-4
Y	3.2	3	2.7	2	1.4	0.7	0	3.2	3.2	2.8	2	1.5	1.1	0.7	0