Физический (электрический) процесс, несущий и себе информацию. Детерминированные и случайные сигналы

Страницы работы

Фрагмент текста работы

импульса, наоборот, расстояние ме^кду нулями функции Si((u) увеличивается (расширение спектр^), а значение Si (0) уменьшается.' В пределе при Тд -> О (Л = const) точки (Oi = ±

Рис. 2.15. Модуль (о) и аргумент (б) спектральной плотности прямоугольного импульса.

-M -in ~Л  И IT Zn 5л W^Z    1 •••^111          ^

Рис. 2.16. Совмещение начала отсчета времени с фронтом прямоугольного импульса.

^ п aw-Wt/i—"-,

±2n/Ti„ соответствующие двум первым нулям функции Si ((о), удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от —оо до 00.

На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля Si ((о), отнесенного к величине Si (0), и аргумента 9 ((о) спектральной плотности. Первый из этих графиков можно рассматривать как амплитудную, а второй — как фазовую характеристику спектра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака S, ((о) учитывается на рис. 2.15, б приращением фазы на л.

При отсчете времени не от середины импульса (как на рис. 2.13), а от фронта (рис. 2.16) фазовая характеристика спектра импульса 51

должна быть дополнена слагаемым ютя/2, учитывающим сдвиг импульса на время Тц/2 (в сторону запаздывания). Результирующая фазовая характеристика принимает при этом вид, показанный на рис. 2.15, б штриховой линией.

Рассмотрим вопрос о распределении энергии в спектре импульса. В соответствии с§ 2.8 и формулой (2.68') спектральная плотность энергии прямоугольного импульса

^((o)=^(0)^^-^(0)[sinc (-^)]'.      (2.71)

С помощью равенства Парсеваля нетрудно вычислить энергию в заданной полосе частот.

Пусть нас интересует полоса Доз от —c)i до tOi. Тогда по формуле (2.66) находим энергию в указанной полосе

.^J- ^и^л^ ^ f -^^=

п J                      я J    (соти/2) о                         о

^ у»

^.,   1   2    С    sWx ^      ^    ^ ^ "i ^ ) —^ ^n——   \       7i"""•—" ^'и^^{    <•,    ;' Я  T„   J      ^                      \    i    I

где А"т:а == .9 есть полная энергия импульса, а функция

<»iV^

^(^JJL\— ^ Г "'"^

^l~T"7T J ^

о

^

(2.72)

определяет относительную долю энергии в полосе частот от 0 до fi)i. Интеграл, входящий в выражение (2.72), с помощью интегрирования по частям может быть приведен к виду

«^„/2

"lV^ ">1"И^

2 sin х cos x

dx:

^T„/2

sin» (о)] Тн/2)      Г .^^^-__ -2si^((OiTH/2) , ^^ ^ ^ т, Ти/2         J     x               mi-Ca

Здесь sly^^-^^-dx—интегральный синус.

о Таким образом, т) 52

"1 "я \— 2 1,, ^ , 2   )~n^^

SI a», T,

2 si^ (miTn/2)

(2.73)

'».

График функции т) ((й^н^) изображен на рис. 2.17. Из этого рисунка видно, что при ^OjT„/2 ^ я, т. е. при^Тд == 1^ в полосе частот от 0 до ^== 1/Ти сосредоточено около 90% .всей энергий импульса. На основе формулы (2.73) можно выбирать полосу пропускания цепи (фильтра) по заданному коэффициенту использования энергии импульса. Следует, однако, подчеркнуть, что в тех

^ f f -^ / '- /f. Ч '     /G

^Г\а—7   -ya'O^/ff • ^ ^

a)                            ft

Рис. 2,17. Доля энергии прямоугольного импульса в полосе частот 0, toi.

Рис. 2.18 Колоколообразный (гауссов) импульс (а)   и его   спектральная плотность (б).

случаях, когда требуется получить на выходе фильтра форму импульса, близкую к прямоугольной, величина произведения ^Тд должна быть гораздо больше единицы.

2. Колоколообразный (гауссов) импульс (рис. 2.18,а)

Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется выражением

s^f)==Ae~"^"\ —оо<^<оо.           (2.74)

Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссова) закона распределения вероятностей, называется также «гауссовым импульсом». Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне е-'^ == 1/е'^ =» == 0,606 от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса Тц равна 2а. Применяя выражение (2.48), получаем

5,(о))=Л ^е-^

dt.

(2.75)

Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы

—{•—-- + 1Ш( ^ 2а"

)--[(^^^

-к^

-^

где величина d определяется из условия

i<i)t=2{t/'V2a)d, откуда d=imalV2.                     (2.76)

Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду

, d' ^ -(tlVla+d)' , S2((o)==Ae     е           dt,

—ОС

Переходя к новой переменной х = (t/~^2a) Ч- d, получаем ж

S.i{M)==Ae"'V2a {e~"'dx.

—от

Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен Ул" окончательно получаем

(2.77)

где b = 1/а, В=У2паА.

^График этой функции изображен на рис. 2.18, б. : Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссов импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на (о. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне е~"' от максимального значения, равна 2Ь == 2/а = 2 • 2/Тд = = 4/т„, а коэффициент В = У2яаЛ. Гауссову спектру S.i((u)==Be-<""'"'                 (2.78)

соответствует гауссов импульс s^t)=Ae-"'t°/'

вь    —ь^<^/'2 е    ,

'У2я

(2.79)

с длительностью 2/й и амплитудой А == ВЫ~У2л.

Очевидно, что чем меньше длительность импульса Ти, тем шире

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
830 Kb
Скачали:
0