Трёхфазные цепи. Основные теоретические положения, страница 8

Z1 := 3 + j4     R := 20    xL := 30    xM := 25   xC := 40

Используя теорему косинусов, с помощью качественно построенной векторной диаграммы линейных напряжений (рис 4.26,б) определим их комплексы, совместив с вещественной осью  UAB:

a:= acos           = 60.008

UAB := U1        UBC := U2×e ^{j×(a - p)}         UCA := – UAB – UBC

Проверка:  |UCA| = 191.3

Припишем систему линейных напряжений двум ЭДС (рис. 4.26,а)  EAB= UABи  ECB= -UBC, а расчёт токов в этой схеме произведём методом контурных токов. Определим собственные и взаимные комплексные сопротивления контуров

Z11 := 2×Z1 + R+ j×xL   Z22 := 2×Z1 + R+ j×xLZ33 := 2×Z1 – j×xC

Z12 := – Z1 – j×xMZ13 := Z1     Z23 := Z13

Матрицы контурных сопротивлений, ЭДС и токов

Zk :=   Ek :=    Ik := Zk ^-1×Ek      Ik =

Токи в ветвях    IA := Ik₁ + Ik₃     IB := Ik₂ – Ik₁     IC := – Ik₂ – Ik₃

Iab := Ik₁            Ibc := Ik₂            Icz := – Ik₃

Показания ваттметров

Uab := UAB + Z1×(IB – IA)      Ucb := – UBC + Z1×(IB – IC)

P1 := Re(Uab×)      P2 := Re(Ucb×)

Тепловые потери в треугольнике    Pt := R×(|Iab|² + |Ibc|²)

Ответы    IA = 6.929 – 2.749i        Iab = 3.276 – 5.589i

IB = -2.925 + 2.965i       Ibc = 0.351 – 2.624i

IC = -4.004 – 0.216i       Ica = -3.653 – 2.84i

P1 = 1.222´10³   P2 = -242.909     P1 + P2 = 979.437     Pt = 979.437

Сумма показаний ваттметров равна тепловым потерям в треугольнике нагрузки. Таким образом, ваттметры, включенные по представленной схеме, измеряют активную мощность нагрузки.

4.4. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ НЕСИММЕТРИИ В ТРЁХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ

Рассматриваются простейшие трёх- и четырёхпроводные цепи генератор-приёмник с соединением фаз приёмника и генератора в звезду и треугольник. К особым случаям несимметрии относят обрывы проводов и фаз, короткие замыкания фаз, если исходная схема работает  в симметричном режиме. В этом случае цепь перестаёт быть симметричной, однако имеет место ряд особенностей, облегчающих расчёт.

ЗАДАЧА 4.21. Для симметричной трёхфазной системы «звезда-звезда без нулевого повода» (рис. 4.27,а) рассчитать режимы работы следующих случаев:        - симметричный режим;

- обрыв линейного провода А;

- короткое замыкание фазы А.

Параметры схемы:  U = 380 В,   r = x = 20 Ом.

Решение

На рис. 4.27,б приведена векторная диаграмма симметричного режима системы Y-Y. При этом напряжение между нулевыми точками симметричной системы  U_N= 0.

Фазные ЭДС генератора и фазные напряжения приёмника

E_A = U_A === 220 B;   E_B = U_B = 220×e ^–j120° B;    E_C = U_C = 220×e ^j120° B;

а также токи  I_A === 7,78×e ^–j45° А;

I_В = I_A×e ^–j120° = 7,78×e ^–j165° А;     I_С = I_A×e ^j120° = 7,78×e ^j75° А

образуют симметричные системы векторов.

При обрыве линейного провода А последовательно с сопротивлением этой фазы   Z= r+ jx = 20 + j20 Ом    можно считать включенным дополнительное сопротивление обрыва  Z_обр = ¥, при этом сопротивление ветви  А  становится равным  Z_А = Z_обр + Z = ¥.  Узловое напряжение (его называют напряжением смещения нейтрали)

U_N=== -= -= -110 B.

При подсчёте  учтено, что при обрыве провода А проводимость == 0, отношение == 0, и в симметричной системе

E_A + E_B + E_C º 0,    откуда   E_B + E_C = -E_A.

Напряжение на сопротивлении  Z_А        U_A = E_A – U_N = 1,5×E_A  = 330 B

является напряжением между точками обрыва провода А, а ток оборванного провода   I_A === 0.

Напряжения и токи неповреждённых фаз

U_B = E_B – U_N  = 220×e ^–j120° +110  = -j190 B;        I_B === 6,72×e ^–j135° A;

U_C = E_C – U_N  = 220×e ^j120° +110  = j190 B;          I_C === 6,72×e ^j45° A.

Заметим, что при обрыве линейного провода трёхфазная цепь превращается в однофазную, поэтому токи неповреждённых фаз можно найти и более простым способом:     I_B = -I_C ==.

Векторная диаграмма рассматриваемой системы Y-Y без нулевого провода при обрыве линейного провода А приведена на рис. 4.28,а.