Расчет стержня на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)

Страницы работы

Содержание работы

  1. Расчет стержня на прочность и жесткость при, растяжении (сжатии) (задача № 1)

В  задаче дано:

1) расчетная схема стержня (в РГР-2 принять расчетную схему задачи №1 из РГР-1);

2) эпюра продольных сил Nx (построена при выполнении РГР-1);

3) допускаемое напряжение на растяжение и сжатие для материала стержня [σl] = 150 МПа;

4) модуль продольной упругости материала стержня E = 2*105 МПа;

5) допускаемое перемещение  стержня   ;

Требуется:

1) для стержня постоянного поперечного сечения опре­делить размеры сечения, приняв его форму в виде квадрата;

2) определить нормальные напряжения σ  в одном из опасных сечений стержня и построить эпюру распределения этих напряжений по высоте сечения;

3) определить осевые перемещения сечений стержня, по­строить эпюру перемещении ∆l и проверить стержень на жесткость;

4) если условие жесткости (1.2) не выполняется, опре­делить новые размеры поперечного сечения стержня на осно­ве условия (1.2);

Решение:

 



  1. Определение размеров поперечного сечения стержня:

По эпюре продольных сил Nx определяется опасное сечение стержня и максимальная по абсолютной величине про­дольная сила |Nxmax| в нем.

Из условия (1.1) определяется требуемая площадь по­перечного сечения стержня:

(1.1);            ;

Находятся требуемые и окончательные размеры попереч­ного сечения стержня постоянного сечения в виде квадрата: , где атр - сторона квадрата, требуемая из условия прочно­сти:     

A = a2, где a = 12 мм; 

A = 122 = 144 мм2;

  1. Построение эпюры распределения нормальных напряжений σ по высоте опасного сечения:

Значение σ определяется по формуле:

Знак   напряжения   σ  соответствует   знаку   продольной   силы на эпюре Nx.

  1. Построение эпюры перемещений поперечных сечений стержня ∆l:

При этом перемещение ∆lxi на i-ом участке равно:

;

где ∆lx(i-1)k  - перемещение крайнего сечения  i -1 грузового участка на границе с i - ым участком (расчет значения  ∆lx(i-1)k  предшествует расчету i-того участка) при расчете первого грузового участка  ∆lx(i-1)k  = 0); xi - координата произволь­ного сечения на i-том участке относительно его начала (рис. 2). Знак силы Nxi  в формуле должен соответ­ствовать знаку усилия Nxi па эпюре продольных сил.

;    

2.  Расчёт  стержня на прочность и жёсткость при кручении (задача №2)

В задаче даны:

1) расчетная схема стержня (в РГР-2 принять расчетную схему задачи 2 из РГР-1);

2) эпюра крутящих моментов Тх (построена при выпол­нении РГР-1);

3) допускаемое касательное напряжение материала стержня [τ] =90 МПа;

4)  модуль сдвига материала стержня G = 8*104 МПа;

5) допускаемый угол закручивания на единицу длины стержня  [Ф] = 1,2*10-2 рад/м.

Требуется:

1) из условия прочности определить диаметр стержня d сплошного поперечного сечения;

2) из условия прочности определить наружный dН и внут­ренний dВ диаметры стержня кольцевого поперечного сече­ния при a = dВ/dН=0,8;

3) сравнить по весу стержни сплошного и кольцевого поперечных сечений и оценить экономию материала при из­готовлении стержня кольцевого сечения;

4) построить эпюры распределения касательных напря­жений вдоль диаметра одного из опасных сечений сплош­ного и полого стержней;

5) определить углы закручивания  сечений стержня сплошного поперечного сечения, построить эпюру углов за­кручивания φ и проверить стержень на жесткость;

6) если условие жесткости не выполняется, опре­делить новый диаметр стержня сплошного сечения на основе условия жесткости.

 


Решение:

  1. Определение диаметра стержня d сплошного поперечного сечения:

По эпюре крутящих моментов Тх определяется опасное се­чение стержня и величина крутящего момента в нем |Txmax|.

Из условия (2.1) определяется требуемый момент сопро­тивления WP TP:

(2.1);         

d ≥ dTP;   d = 140 мм;

  1. Определение dH и dB диаметров стержня кольцевого поперечного сечения по найденному выше значению WP,TP:

  

dH = 160 мм

dB = αdH;   dB = 0.8 * 160 = 128 мм;

  1. Сравнение по весу стержней сплошного и кольцевого поперечных сечений:

По полученному численному значению коэффициента эко­номичности Э делается вывод о достоинствах стержня коль­цевого поперечного сечения по сравнению со сплошным.

  1. Построение эпюры распределения касательных напряжений τ;

Распределение напряжений τ при кручении в опасном сечении подчиняется закону:

, где ρ — расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки; lP — полярный момент инерции поперечного сечения стержня.

Для сечения в виде круга диаметром d:

     

Для сечения в виде кольца:

  1. Построение эпюры углов закручивания φ сечений стержня сплошного поперечного сечения:

Углы закручивания φxi  на i-том участке определяются по формуле:

, где  φx(i-1)k  -  угол закручивания  крайнего сечения i -1  гру­зового участка, примыкающего к участку i.  Расчет участка  i -1 предшествует расчету участка i, поэтому величину  φx(i-1)k  можно считать известной; для первого грузового участка φx(i-1)k =  0; Txi - крутящий момент на i-том участ­ке; xi - координата произвольного сечения 1-го участка относительно его начала (по аналогии с задачей № 1). Знак момента Txi в формуле соответствует знаку Txi на эпюре крутящих моментов Тх.

φ0 = 0

  1. Проверка условия жёсткости при кручении:

Так как условие не выполняется, необходимо найти новый момент инерции IP,TP:

    

   

  1. Расчет балки на прочность и жесткость при плоском поперечном изгибе (задача № 3)

В  задаче  даны:

1) расчетная схема балки (задача № 3 на плоский поперечный изгиб в РГР-1);

2) эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, по­строенные в РГР-1 для заданной расчетной схемы;

3) допускаемые нормальные [σ] и касательные напря­жения [τ] материала балки: [σ] = 160 МПа, [τ] = 100 МПа;

4}  модуль   упругости   материала   балки   Е = 2*105   МПа;

Требуется:

1) из условия прочности  определить размеры прямо­угольного поперечного сечения балки при h/b = 2 (h и b — соответственно высота и ширина сечения);

2) подобрать по сортаменту прокатной стали номер двутавра, удовлетворяющий, условию прочности;

3) сравнить по весу балки, прямоугольного и двутавро­вого поперечного сечений и определить экономию материала при изготовлении двутавровой балки;

4) для каждой из двух балок построить эпюры распре­деления нормальных напряжений σ по высоте опасного се­чения, где Mх= |Мхmаx|;

5) для каждой из двух сечений балок построить эпюры распределения касательных напряжений τ по высоте опас­ного сечения, в котором Qx= |QXmax|;

6) проверить прочность балок по касательным напряже­ниям;  

7) построить эпюры углов, поворота θ и прогибов у для двутавровой балки;

Решение:

 


  1. Определение размеров прямоугольного поперечного сечения балки:

Из эпюры Мх  определяется максимальное значение изгибающего момента МXmax.

Из условия (3.1) определяется требуемый момент со­противления:

(3.11); 

h = 2b;   h = 2*60 = 120 мм;

  1. Выбор номера двутавра:

По сортаменту прокатной стали и  найденному по формуле значению WН.Отр определяется номер двутавра, удовлетво­ряющий условию прочности. Для этого по сортаменту дол­жен быть принят двутавр с большим ближайшим значением WНо ст (по сортаменту Wz) по сравнению с требуемым зна­чением WHотр:

Номер двутавра: №18     

WHOCT = 143 см3 = 0,143 *10 -3 м3;

WHOCT ≥ WHOTP;  143 ≥ 125 см3;

hCT = 180 мм;

bCT = 90 мм;

S = 5.1 мм;

t = 8.1 мм;

ACT = 23.4 см2;

IZ = 1290 см4;

SZ = 81.4 см3;

  1. Построение эпюр σ по высоте опасного сечения балки прямоугольного и двутаврового сечения:

 


Распределение напряжений σ в опасном сечении при из­гибе подчиняется закону:

, где у - расстояние от рассматриваемой точки до нейтраль­ной оси сечения; IН.О -  момент инерции попе­речного сечения балки относительно нейтральной оси.

Для балки прямоугольного сечения:

    ;

Для двутавра:

     

    или   

   

  1. Построение эпюр распределения касательных напряжений для прямоугольного и двутаврового сечений:

Балка прямоугольного сечения:

По эпюре поперечных сил Qx определяется максимальное по абсолютной величине значение QXmax

Распределение напряжений τ в прямоугольном сечении подчиняется закону:

Двутавровая балка:

Напряжения τ определяются в отдельных слоях сечения по формуле Журавского:

, где bi - ширина рассматриваемого слоя i;  Si* - статический момент относительно нейтральной оси части сечения, рас­положенный по одну сторону от рассматриваемого слоя i. Всего рассматривается семь слоев:

  b1 = b2 = b6 = b7 = bCT;    b3 = b4 = b5 = S;   S1* = S7* = 0;

Для слоёв 2,3,5 и 6 моменты определяются по формуле:

τ1 = τ7 = 0;

τ2 = τ6;

τ3 = τ5;

  1. 12.4 мПа < 100 мПа => условие прочности выполняется!
  1. Построение эпюры углов поворота θ и прогибов у для двутавровой балки.

E = 2*105 мПа;   двутавр №18

По  формуле определяем углы  поворота  сечений:

;

Iгрузовой участок:  0 ≤ x1 ≤ 1;

;

  

IIгрузовой участок: 0 ≤ x2 ≤ 2;

    

Определим прогибы yiм:

I грузовой участок: 0 ≤ x1 ≤ 1;

  

II грузовой участок: 0 ≤ x2 ≤ 2;

  

Список литературы

1.   Внутренние силовые факторы в элементах химического оборудо­вания: Метод. указания/Сост. А. М. Василенко, А. И. Мильченко; ЛТИ им. Ленсовета. Л., 1985. 34 с.

Похожие материалы

Информация о работе