Бесстолкновительная плазма. Дебаевская длина экранирования, страница 9

где  — плотность ионов в переходной области плазма — слой. Для максвелловских электронов плотность равна

При = 3— достаточно малой величине, которую следует ожидать в области между границей плазмы и стенкой, 0,13. В этом случае обрезание электронного распределения на стенке приведет к изменению плотности заряда вблизи стенки приблизительно на 7% и к еще меньшему изменению в слое. Эффект будет малым. Для значений 4 он быстро становится пренебрежимо малым.

А. Приближенное описание слоя

Для величин плотности плазмы, используемых для генерации ионных пучков с высокой плотностью тока, плазменное решение, даваемое формулами (3.42) или (3.44), пригодно вплоть до переходного слоя. Для указанных плотностей слой настолько узок по сравнению с размерами плазменного объема, что доля генерируемого в слое ионного тока пренебрежимо мала. Предположение, что все ионы образуются в плазме, где изменение потенциала описывается плазменным решением, дает возможность найти обобщенное решение в слое. Назовем это предположение приближенным описанием слоя. Поскольку распределение ионов по скоростям на границе плазмы, т. е. при , как было показано выше, не зависит от природы ионизации, можно без потери общности упростить анализ, предположив, что ионизация однородна в пространстве. В соответствии со сделанным предположением,    изменение потенциала в слое не зависит от функции ионизации, т. е. от величиныγв выражении (3.37).

Напишем полное уравнение  (3.36)  системы плазма — слой при g=const и. Получим

 .                                     (3.72)

Используя сделанное предположение,    возьмем   для слоя и проинтегрируем только до . Заменим переменную интегрирования на с помощью плазменного решения (3.42)

при постоянной скорости ионизации. Как было указано выше,

                                                          (2.129)

Дифференцируя [или полагая = 0 в  (3.63)], получим

, и можно переписать (3.27) в виде

              (3.73)

Заменим пространственную переменную на , где a - расстояние до стенки. При этом, во-первых, пространственным масштабом становится дебаевская длина (а не размеры плазмы), и, во-вторых, расстояние отсчитывается внутрь слоя от стенки, а не от центра плазмы, уравнении  (3.73)  преобразуется только производная

,(3.74)

так что (3.73) примет вид

                (3.75)

Первое слагаемое под интегралом легко вычисляется

,                             (3.76)

тогда получим

,                                                      (3.77)

где

.                     (3.78)

Поскольку  уменьшается с ростом , из (3.77) следует

,               (3.79)

так что

,           (3.80)

где индекс «2» используется для того, чтобы отметить разницу между переменной интегрирования и переменной , выступающей в качестве нижнего предела. Величина соответствует потенциалу стенки. Для того чтобы полностью представить , перепишем (3.78)   ,

   .    (3.81)

Найти аналитическое решение не представляется возможным, но результаты численного интегрирования при =20приведены в табл. 3.1 и показаны на рис. 3.12. При потенциале стенки <20 кривая на рис. 3.12 просто сдвигается вправо.

Авторы работы [43] рассмотрели слой, используя полное уравнение плазма — слой в форме (3.35). Физическая природа сделанных ими предположений завуалирована математической сложностью анализа; однако эти предположения, по-видимому, идентичны сформулированным выше, а кривая на рис. 3.12 соответствует полученной ими кривой .