Транспортировка пучка. Оптика пучка в отсутствие коллективных эффектов. Теорема Буша и уравнение параксиального луча, страница 5

                                                                                                                                                        (21)

Где . Величина  больше нуля, т. е. линза фокусирующая. При очень большом значении отношения  линза будет рассеивающей, но ее использование не практично, поскольку энергия пучка на центральном диске тогда во много раз превышает энергию инжекции. Более детальный анализ реалистичных одиночных линз с различающимися диаметрами отверстий и конечной толщиной электродов представлен в работе [7].

Магнитные линзы

Соленоид. Магнитным аналогом одиночной линзы является соленоид, который создает цилиндрически симметричные радиальное и аксиальное магнитные поля с помощью осесимметричных катушек. Фокусное расстояние может быть получено из уравнения (8), в котором V полагается равным нулю. Следовательно,

                                                                                         (22)

В нерелятивистском случае выражение для фокусного расстояния принимает вид

                                                                                                                         (23)

Здесь В — магнитная индукция в единицах тесла, — импульс пучка, и считается, что поле имеет трапецеидальную форму, так что аксиальная длина L — это расстояние между точками половинной напряженности полей.

Рис. 4.5. Магнитная квадрупольная линза. Эта линза фокусирует в одной плоскости и дефокусирует в другой. 1 — ось пучка; 2 — магнитные полюса квадруполя; 3 — поперечное сечение пучка.

Как и в случае одиночной линзы, обратное фокусное расстояние пропорционально квадрату поля, т. е. соленоид — всегда фокусирующая линза. Фокусное расстояние пропорционально также энергии пучка, и именно это свойство делает соленоид неподходящим для высокоэнергичных пучков.

Квадруполь. Для высокоэнергичных (или высокомассовых) пучков более подходит квадрупольная линза, показанная на рис. 4.5. В этом случае движения в плоскостях х и у независимы, и поэтому нельзя использовать уравнения, приведенные в разд. 4.1.2, Теперь поле пропорционально поперечному смещению в ортогональном квадруполе, что дает

                                                                                                           (24)

Здесь а — расстояние от оси до поверхности полюса (рис. 4.5). Уравнения траектории могут быть получены непосредственно:

Решения имеют вид:

                                                                                                 (25)

Здесь  — начальные положения и углы,  . Taким образом, имеем следующие уравнения преобразования:

                                                                                         (26)

Детерминанты матриц преобразований равны единице. Аналогичное выражение существует для электростатических квадруполей при

                                                                                                                          (27)

Квадрупольная линза фокусирует в одной плоскости и дефокусирует в другой и, следовательно, нарушает вращательную симметрию. Тем не менее ее фокусное расстояние много меньше, чем у соленоида, при одном и том же поле, и определяется формулой

                                                                                                                (28)

Где L - длина квадруполя. Фокусное расстояние — линейная функция магнитного поля и длины для коротких магнитовю.

Большинство квадруполей имеют конструкцию, показанную на рис.4.5 (если они магнитного типа), на котором поверхность полюсных наконечников имеет гиперболическую форму. Однако часто не-практично добиваться строго гиперболической формы поверхности полюсных  наконечников, и вместо этого ее изготовляют в виде части цилиндрической поверхности. В работах [8, 9] были исследованы поля, создаваемые цилиндрическими полюсными наконечниками, и обнаружено, что для полностью симметричного магнита первую неквадрупольную составляющую поля дает 12-поль. Для полюсного наконечника, отделенного от противостоящего полюсного наконечника расстоянием 2a, наилучший радиус кривизны поверхности равен 1,15а, а угол сектора составляет 90°. Поле, создаваемое таким полюсным наконечником, является чисто квадрупольным при радиусах, меньших 0,9а. Таким образом, всегда имеет смысл минимизировать радиус пучка внутри магнита. Число ампер-витков, необходимых для создания магнитной индукции Во у полюсного наконечника, дается формулой