Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: Методические указания к курсовой работе, страница 5

                                                  (1.15)

с начальными условиями  y(a)=y0, z(a)=z0 , где за  z0 обозначено y 10

Данная система может решаться как система двух уравнений первого порядка (1.10)-(1.11), где    f1 (x,y, z)=z , f2 (x,y,z)=f(x, y, z) .

2. Примеры постановок и численного решения задач.

2.1. Модель размножения бактерий ( решение задачи Коши для уравнения первого порядка)

2.1.1. Постановка задачи.

Рассмотрим задачу размножения бактерий при условии, что скорость прироста числа бактерий пропорциональна их наличному количеству с коэффициентом пропорциональности с . Задаваясь начальным количеством бактерий  y(0)=y0 в начальный момент времени t=0 и некоторым промежутком времени T, определить закон изменения числа бактерий на промежутке времени [0,T] . Задачу решить численно методами Эйлера и Рунге-Кутта с использованием табличного процессора MS Excel и системы программирования Турбо Паскаль 7.0.

При выполнении расчетов положить y(0)=y₀, c=1, h=0.1, T=1.5.

2.1.2. Математическая модель задачи

Пусть y=y(t) - количество бактерий в произвольный момент времени. Скорость роста бактерий представляет собой производную функции y(t). По условию выполнено соотношение:

                                                     (2.1)

Полагая y(0)=y₀  , получим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

2.1.3. Численное решение методом Эйлера

Расчетные формулы.

Данное уравнение имеет аналитическое решение

,                                                  (2.2)

что предоставляет возможность сравнить с ним численное решение, полученное тем или иным методом.

При выполнении расчетов в Excel целесообразно записать формулу метода Эйлера (1.4) с указанием конкретной правой части уравнения.

                                        (2.3)

Для проведения расчетов  будем вычислять вначале добавку к текущему значению функции для вычисления следующего

,                                              (2.4)

 а затем 

                                             (2.5)

Выполнение расчетов в Excel

Рассмотрим расчетную таблицу в Excel, содержащую три столбца для значений . Дадим им заголовки  x, y, , расположив их в ячейках A2:C2.  Для постоянных величин h, c отведем отдельные ячейки E2 и E3. Их заголовки помещены в ячейки D2 и D3.

Расчеты в таблице Excel выполняются по следующему алгоритму

1. Вычисление первого столбца:

первые два значения x = x₀ и x₁ = x₀+h вводятся в ячейки A3 и A4, затем, выделив две  эти ячейки , заполняем столбец значений x до достижения конечного значения x=T.

2. Затем заполним первую строку расчетной таблицы: в столбце для y введем y₀ в ячейку B3, в столбце для введем в ячейке C3 формулу:

=$E$2*$E$3*B3 (вычисляется приращение функции y для текущего значения x в соответствии с  по формуле 2.4)

3. Вычисление второго столбца:

Вводим формулу =В3+С3 в ячейку B4 и копируем ее в ячейки B5:B18 (вычисляется новое значение функции y при изменении x на один шаг с помощью линейного приращения по формуле 2.5).