Экзаменационные задачи по дисциплине "Теоретические основы электротехники", 3-я часть – электромагнитное поле (с ответами), страница 2

Билет №9. Прямолинейный длинный изолированный провод, по которому протекает ток I = 60A, расположен в воздухе параллельно плоской поверхности стальной плиты на расстоянии h = 2см от нее (рис.1). Относительная магнитная проницаемость стали . Требуется найти напряженность магнитного поля в точках  и . Координаты точек  и : ;   ;   ;   .

Рис.1

Решение. Воспользуемся методом зеркальных изображений. Найдем фиктивный ток I2 (рис.2):

.

В силу симметрии напряженность магнитного поля в точке  - . Напряженность магнитного поля в точке -, где

;

.

Окончательно получим

, где  - единичные орты вдоль осей x и y.


Рис.2

Билет №10. Определить напряженность магнитного поля на оси цилиндрической катушки с током I. Длина катушки l, средний ее радиус , число витков   (рис.1).

Рис.1

Решение. Цилиндрическая проволочная катушка, изображенная на рис.1,а, обычно называется соленоидом. Предположим, что обмотка соленоида распределена вдоль его длины плотно и равномерно, так что число витков обмотки на 1 м длины . И хотя в действительности ток идет по спирали, но если витков много и они расположены плотно друг к другу, можно этим пренебречь и рассматривать соленоид как совокупность колец с током.

Рассмотрим сначала вклад кольца с током, расположенного между радиусами, проведенными из т. А на оси z и образующими с осью z углы q  и  q + dq (т.е. определим напряженность поля в произвольной точке А на оси соленоида от названного кольца). Длина рассматриваемого кольца, выделенного на рис.1,б,

.

По этому кольцу протекает ток  . Напряженность поля от этого тока в произвольной точке А

.

Подставляя в это выражение  , найдем

.

Интегрирование в пределах от q1 до q2 дает

.

Для бесконечно длинного соленоида (а практически при ) q1 = 0, q2 = p, поэтому

.

Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше напряженность поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще. Это также видно из последнего выражения: магнитодвижущая сила Iw полностью уравновешивается магнитным напряжением Hzl внутри соленоида.

Полученные результаты можно распространить и на тороид. Вне тороида, т.е. за пределами обмотки тороида (как снаружи «бублика», так и внутри) Н = 0. На оси тороида

.

Билет №11. Катушка намотана в виде плоской спирали (рис.1) из большого числа w плотно уложенных витков, по которым течет постоянный ток I. Радиусы внутреннего и внешнего радиусов витков равны  и b. Найти напряженность поля в центре катушки – точке О.


Рис.1

Решение. Вклад в результирующую напряженность от одного витка радиуса r

.

От всех витков

, где dw – число витков в интервале (rr + dr),

.

Подставив значения Н1 и dw в выражение для Н, найдем

.

Билет №11. Требуется рассчитать магнитное поле внутри, вне и в стенке ферромагнитной трубы, находящейся во внешнем однородном поле с индукцией В0 (рис.). Проницаемость материала трубы . Определить коэффициент экранирования , где В1 - индукция внутри трубы.

Рис.1

Решение. Так как в рассматриваемом объеме отсутствуют токи, то  и МП потенциально. Вводя функцию скалярного магнитного потенциала () и  применяя  круговые цилиндрические координаты, решение уравнения   Лапласа   для

jм можно представить в виде (выбирая jм  = 0 при r = 0):

1)     при r £ r1;

2)    при r1  £ r £ r2;

3)    при r ³ r2;

Так как при r = 0 поле должно оставаться конечным, то С2 = 0.

Труба заметно искажает внешнее однородное поле в точках, находящихся вблизи трубы. Вдали от трубы (r ® ¥) ее искажающее действие будет незаметно, и поле останется однородным, т.е. H = Hx = H0 и j3м = - H0x = -H0rcosa. Отсюда следует, что С5 = -Н0.

Остальные четыре постоянные определяются из граничных условий при а) r = r1 и б) r = r2.

а) j =  j  и  ;

   и   ;

б) аналогично

    и   .

Совместное решение четырех уравнений дает:

;   ;   ;   , где .