Порог чувствительности измерительной системы. Чувствительность к форме сигнала. Пределы измерений, динамический диапазон, страница 2

(a)  (b)

Рис.2.28. Порог чувствительности измерительной системы, подверженной действию шума, (а) Плотность распределения вероятностей для сигнала на выходе системы в отсутствие сигнала на входе (fn(у)) я при его наличии (f_sn(y)). (b) Выходной сигнал как функция времени в случае, когда сигнала на входе нет (х = 0), и в случае, когда на входе действует сигнал, вызывающий появление на выходе постоянного напряжения у .

f_n(y) является четной функцией, мы можем ввести критерий обнаружения, основанный на том, что фактическое значение выходного сигнала у больше или меньше, чем 0,5 у. Представим себе, что у- это выборочное значение выходного сигнала. Тогда нам необходимо иметь возможность сделать вывод о наличии сигнала у на основе единственной выборки у. (Когда мы можем позволить себе отложить принятие решения и взять среднее от нескольких выборок, это фактически означает осуществление низкочастотной фильтрации. В этом случае вероятность обнаружения значительно возрастает, так как увеличивается эффективное отношение сигнал/шум.) Если у > 0,5у, то мы делаем вывод, что сигнал на входе присутствует, а если у < 0,5 у, то мы принимаем решение об отсутствии сигнала на входе. На рис. 2.28(b) показан случай, когда берется большое число выборок, как при наличии входного сигнала, так и в его отсутствие. Здесь п примерно равно 3 (у = Зσ). При n=2 темная полоска между двумя изображениями выходного шума на экране осциллографа исчезает. В последнем случае мы уже не можем четко различать эти два изображения; на рис. 2.28(а) показаны соответствующие плотности распределения. Что значит надежность обнаружения в этом случае? Как можно видеть из графика на рис. 2.28(а), приу = 2σ (п = 2) (согласно критерию обнаружения, при котором происходит сравнение со значением 0,5 у) заключение, что «входного сигнала нет», будет ошибочным для 16% выборок. Это в точности та часть всей площади под f_sn(y), которая заштрихована. Поэтому доля случаев, в которых обнаруживается входной сигнал, порождающий выходной сигнал       у = 2 , составляет 84%. Следовательно, с достоверностью 84% можно обнаруживать маскируемое шумом постоянное напряжение, когда среднеквадратическое значение шума равно половине значения этого постоянного напряжения (п =2). Отношение сигнал/шум в данном случае составляет (пσ)²/σ² = п² = 4 Это рассуждение показывает, что желаемая степень надежности определяет порог чувствительности (значение п).

В табл. 2.3 приведена достоверность или вероятность обнаружения сигнала на входе по критерию y > 0,5 y , вычисленная для нескольких значений у .

Табл. 2.3. Вероятность обнаружения и отношение сигнал/шум для различных значений сигнала у в зависимости от соотношения между стандартным отклонением σ и величиной сигнала.

Сигнал у	Вероятность обнаружения	Отношение сигнал/шум
1 σ	69,15%	1
1,4 σ	76,11%	2
2 σ	84,13%	4
3 σ	93,32%	9
4 σ	97,72%	16
5 σ	99,38%	25
6 σ	99,87%	36
8 σ	99,9968%	64
10 σ	99,999971%	100

Общепринятой мерой порога чувствительности является величина входного сигнала, для которого отношение сигнал/шум равно единице. Тогда, в случае шума с нормальным распределением мгновенных значений, вероятность обнаружения оказывается равной примерно 70%.

В приведенном рассмотрении мы хотели выносить решение о наличии сигнала на входе по одному единственному выборочному значению или измерению. Порог чувствительности улучшается, когда мы выносим решение на основании нескольких (скажем, п) выборок. Как мы уже видели, где s - среднеквадратическое значение шума, a σavg - стандартное отклонение среднего от п выборок. Таким образом, в результате усреднения отношение сигнал/шум увеличивается в п раз и порог чувствительности соответственно снижается.