Последовательности независимых событий и величин. Неравенство Чебышева. Типы сходимости

Страницы работы

Содержание работы

IV.  Предельные теоремы теории вероятностей

4.1  Последовательности независимых событий

Рассмотрим некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Будем говорить, что события  независимы, если для всех m, , и  всех   .

Будем говорить, что события   образуют последовательность независимых событий, если для любых nсобытия  независимы.

Если  - последовательность независимых событий, то последовательность где или , также последовательность независимых событий.

С каждой последовательностью событий можно связать события

 

и                                                                                             (4.1)

Первое из событий (4.1) означает, что для любого nосуществляется хотя бы одно из событий , k = n, n+1,… т.е. событие осуществляется тогда и только тогда, когда происходит бесконечное число из событий .

Второе из событий (4.1) означает, что существует такое число n, что осуществляются все события ,  k = n, n+1,…  т.е. событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит лишь конечное число из событий .

Теорема 1 (Бореля - Кантелли). Если  - последовательность независимых событий, то:

Доказательство. В первом случае из соотношения

 0  при  

как остаток сходящегося ряда. Во втором случае перейдем к событию

Тогда

 

Так как    то  в этом случае.

В чем смысл доказанной теоремы? Для независимых событий событие может иметь вероятность 0 или 1. В первом случае это означает что с вероятностью 1 происходит лишь конечное число из событий ; во втором – с вероятностью 1 происходит бесконечное множество событий из .

4.2  Последовательности  независимых величин

Пусть  - последовательность независимых с. величин. Это значит, что  и любых чисел события  независимы.

Замечание. Следует помнить, что когда мы говорим пусть x – с. величина или пусть – последовательность  с. величин, то полагаем, что существует некоторое вероятностное пространство (W, F, P), на котором эта с. величина x  или эти с. величины  заданы.

Приведем некоторые признаки независимости с. величин.

Теорема 2.  Для того, чтобы с. величины  были независимы необходимо, чтобы для любых ограниченных борелевских функций    

=    (4.2)

и достаточно, чтобы равенство (4.2) выполнялось для непрерывных ограниченных функций.

Борелевскими называются функции, измеримые относительно s– алгебры борелевских множеств.

Следствие 1. Если  - независимые с. величины и , существуют, то существует и .

Следствие 2.  1). Если  -  независимые с. величины и , то  - не коррелированы;

2). Если   - независимые с. величины и  то

Результаты следствия 2 нам уже известны.

4.3   Неравенство Чебышева

Теорема 3.  Пусть x– неотрицательная с. величина с вероятностью 1 и существует . Тогда:

                                                             (4.3).

Доказательство.  Введем в рассмотрение событие . Для него индикаторная функция имеет вид:

.

Рассмотрим теперь очевидное неравенство  любое положительное число. Тогда   или    или  .

Доказанное неравенство известно под названием неравенства Чебышева (правда иногда в литературе оно встречается под названием неравенство Маркова – [5] ).

Следствие.  Для произвольной с.величины x, имеющей дисперсию Dx,

                                                              (4.4)

Именно это неравенство известно широкому кругу читателей под названием неравенства Чебышева. Оно получается из теоремы 3, если в качестве с. величины  взять

Неравенство  эквивалентно неравенству . Поэтому  .

Однако,  оно может быть доказано и без помощи теоремы 3.  Введем в рассмотрение с.величину  .

Тогда  

Но  Следовательно,  и

Неравенство (4.4) следует применять, когда , иначе оно дает тривиальную оценку.

Пример 1.  Пусть с величина xимеет плотность распределения . Тогда Mx==0 (интеграл от нечетной функции по симметричному множеству),

(интегрировали по частям).

Оценим при e=2,5,10. Получим

. Прямое  вычисление величин дает выражения

 .

Видим, что неравенство Чебышева дает довольно грубые оценки вероятностей. Однако неравенство Чебышева является родоначальником многих других неравенств, широко применяемых в теории вероятностей.

4.4  Типы сходимости

Пусть дана некоторая последовательность с. величин  и с. величина x.  

Определение 1.   Говорят, что последовательность с. величин сходится к с. величине xпочти наверное (с вероятностью 1), если

Иными словами говоря, равенство  означает, что множество тех w, для которых последовательность  имеет вероятностную меру 0.

Обозначение:   или

Определение 2.   Говорят, что последовательность с. величин сходится к с. величине xпо вероятности, если . Обозначение:

  или

Эти два вида сходимости связаны между собой: из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Обратное утверждение не имеет места, но если последовательность  , то любая её подпоследовательность содержит другую подпоследовательность, сходящуюся по вероятности 1 [3].

Определение 3.  Говорят, что последовательность с. величин сходится к с. величине xв среднем порядка p, если .

В анализе этот вид сходимости  называют сходимостью в смысле . Поэтому обозначают этот вид сходимости так: .

При p = 2 сходимость называют сходимостью в среднем квадратичном (среднем квадратическом), обозначают это так:  (от limit in the mean) или  .

Определение 4.  Пусть с. величины имеют функции распределения , а с. величина x - F(x). Говорят, что последовательность с. величин сходится по распределению к с. величине x, если  во всех точках непрерывности функции F. Обозначение:

Говорят ещё в этом случае, что последовательность функций распределения  слабо сходится к функции распределения

Похожие материалы

Информация о работе