Обобщающие показатели: интерпретация типических значений и перцентилей, страница 3

Если у фирмы три завода, при анализе пенсионных расходов не нужно брать простое среднее типических размеров пенсионных расходов на каждом из трех заводов как типическое значение общих пенсионных расходов, особенно, если заводы отличаются по размеру. Если численность служащих на одном заводе в два раза превышает численность служащих на другом заводе, по-видимому, будет разумным при вычислении обобщающего показателя учесть пенсионный фонд первого завода дважды. Средневзвешенное позволит вам обобщить данные, используя веса, определенные в соответствии с размером каждого завода.

Веса обычно представляют собой положительные числа, сумма которых рав­на 1. Не волнуйтесь, если первоначально вычисленная сумма весов не равна 1. Вы всегда сможете откорректировать значения весов, разделив каждый вес на сумму всех других весов. Исходные веса можно было бы определить исходя из численности служащих, рыночной стоимости или любого другого объективного показателя, а также можно воспользоваться субъективным методом (руково­дствуясь чьим-то личным мнением или мнением эксперта). Иногда легче выби­рать веса, не заботясь, чтобы их сумма была равна 1, а затем преобразовать их, разделив каждый на общую сумму.

Предположим, вы решили вычислить средневзвешенное пенсионных расходов для трех заводов, присвоив веса в соответствии с численностью служащих. Если численность служащих равна 182, 386 и 697, то веса соответственно равны:

182/1265 = 0,144;

386/1265 = 0,305;

697/1265 = 0,551.

Обратите внимание, что значение веса получено путем деления численности служащих на данном заводе на общее количество служащих трех заводов — 182 + 386 4 + 697 = 1265. Сумма полученных весов, как это и требуется, равна 1:

0,144 + 0,305 + 0,551 = 1.

Реально сумма может быть равна 0,999 или 1,001 (в зависимости от ошибок округления). Не обращайте на это внимание.

Для вычисления взвешенного среднего каждый элемент данных умножают на присвоенный ему вес и суммируют полученные значения. Соответствующая формула имеет такой вид.

Взвешенное среднее = Сумма (вес умноженный на значение элемента)

,

где w_i  - соответствующие веса, сумма которых равна 1.

Вы можете счи­тать обычное (не взвешенное) среднее также средневзвешенным, в котором все элементы данных имеют одинаковый вес, равный 1 / п .

Средневзвешенное значений 63, 47 и 98 с весами, равными 0,144; 0,305 и 0,551, соответственно, равно:

(0,144 * 63) + (0,305 * 47) + (0,551 * 98) = 9,072 +14,335 + 53,998 = 77,405

Обратите внимание, что, как и следовало ожидать, средневзвешенное отлича­ется от обычного (не взвешенного) среднего этих трех значений (53 + 47 + 98)/3 = 69,333. При вычислении средневзвешенного наибольшее значение имеет вес 0,551 (что больше, чем одна треть суммарного веса). Вот почему в нашем случае средневзвешенное больше, чем обычное не взвешенное среднее.

Средневзвешенное лучше всего интерпретировать как среднее, используемое в ситуациях, когда одни элементы более важны, чем другие. Более важные эле­менты вносят больший вклад в значение средневзвешенного.

Пример. Ваш средний балл

Средний балл (GPA — grade point average) ваших результатов обучения в университете вычисляется как взвешенное среднее. Это связано с тем, что некоторые курсы оцениваются большим количеством очков и, следовательно, являются более важными по сравнению с другими. Вполне разумно, если курсу, который оценивается в два раза больше, чем другой, присваивается вдвое больший вес, и средний балл это отражает.

В разных университетах используют разные системы оценок. Предположим, что система оценок в вашем университете включает оценки от 0,0 (незачет) до 4,0 (отлично) и в конце семестра ваша карточка с оценками имеет такой вид.