Построение конечных геометрий порядка 4 и 5 с использованием латинских квадратов, страница 8

Разместим элементы 1 и 3 в незаполненные ячейки первой строки. Элемент 3 не может быть размещен на четвертой позиции. В противном случае, при совмещении данного квадрата и квадрата (А) мы получили бы вторую упорядоченную пару 33. Элемент 3 может занимать только третью ячейку первой строки. Тогда элемент 1 ставим на четвертую позицию. В результате, при наложении данного квадрата на квадрат (А) мы приобретаем еще две упорядоченные пары 23, 31.

     На пересечении второго столбца и второй строки 3 стоять не может (в противном случае, при совмещении квадратов получим повторно пару 33). На заполнение этой ячейки элементом 2 у нас также запрет, так как такой элемент возглавляет столбец. Элемент 1 уже присутствует во второй строке. Следовательно, мы не имеем права использовать его еще раз для заполнения данной строки. Но ничто не мешает поставить 0 во вторую ячейку и получить упорядоченную пару 30 при наложении заполняемого квадрата на квадрат (А). Далее мы не имеем возможности заполнить вторую строку. Покажем это. Элемент 2 нельзя разместить в четвертой ячейке. В противном случае, не удастся избежать повторов в упорядоченных парах. По этой же причине мы не можем в четвертой ячейки расположить 3.

Мы можем сделать еще одну попытку в нахождении квадрата ортогонального квадрату (А), помещая на второе место первой строки элемент 3. Но даже в случае успешного результата мы будем иметь лишь два взаимно ортогональных квадрата. Согласно замечанию, изложенному в настоящей главе, полный набор взаимно ортогональных латинских квадратов 4 - го порядка составляет ровно 3 квадрата.

Рассмотрим латинский квадрат (В). Попытаемся для него построить систему ортогональных квадратов (схема 6). Заполним первый столбец квадрата последовательно элементами 0, 1, 2, 3. При наложении этого квадрата на квадрат (В) получим упорядоченные пары 00, 11, 22, 33. Во вторую ячейку первой строки элементы 0 и 1 не могут быть помещены (0 возглавляет эту строку, 1 находится во второй ячейке первой строки в квадрате (В)). Но на второе место претендуют элементы 2 и 3. Заполним это место элементом 3. Тогда, элемент 2 в первой строке может занять только четвертую ячейку, а 1 - третью. Накладывая этот квадрат на квадрат (В), получим пары 13, 21, 32. На пересечении второго столбца и второй строки элементы 3 и 1 не могут стоять во избежание противоречия определению латинского квадрата. Элемент 2 также не может занять данную позицию (2 находится во второй ячейке второй строки квадрата (В)). Поместим в данную ячейку 0, что позволит нам при наложении данного квадрата на (В) приобрести пару 20. Далее нет возможности заполнить вторую строку, так как ни один из элементов 2 и 3 не может занять третью ячейку (и в том, и в другом случае мы не избежим повторов в упорядоченных парах).

Таким образом, попытка найти систему взаимно ортогональных латинских  квадратов 4 - го порядка вновь оказалась неудачной.

Проводя аналогичные рассуждения для квадрата (D), нам также не удастся построить систему ортогональных латинских квадратов 4 - го порядка (схема 7).

Рассмотрим квадрат (С). Попытаемся для него построить нужную систему (схема 8). Как и в предыдущих случаях заполним первый столбец квадрата элементами 0, 1, 2, 3, что позволит нам получить упорядоченные пары 00, 11, 22, 33. На второе место первой строки претендуют элементы 2 и 3. Сначала поместим на данную позицию элемент 2. Третью ячейку может занять только 3, а четвертую - 1. При наложении этого квадрата на квадрат (С) получим пары 12, 23, 31. На пересечении второй строки и второго столбца может стоять только элемент 3. На четвертой позиции элемент 2 не может находиться (в противном случае, мы получим повторно пару 22). Поместим в эту ячейку 0. Тогда, элемент 2 займет третье место. Накладывая данный квадрат на квадрат (С), получим новые пары: 03, 32, 20. На пересечении четвертого  столбца и третьей строки может стоять только 3 (элементы 0 и 1 уже присутствуют в данном столбце, а 2 - в данной строке). Элементы 0 и 1 могут занимать вторую и третью ячейки соответственно. В результате совмещения заполняемого квадрата и квадрата (С) найдем упорядоченные пары 30, 01, 13. Порядок заполнения ячеек четвертой строки определяется однозначно 1, 0, 2, вследствие чего образуются при наложении квадратов пары 21, 10, 02. Итак, нам удалось найти два взаимно ортогональных квадрата 4 - го порядка. Но для полного набора нужен еще один. Расположим в первом столбце квадрата 4 - го порядка последовательно элементы 0, 1, 2, 3, а на вторую позицию первой строки поместим элемент 3. Проводя аналогичные рассуждения предыдущим, получим еще один латинский квадрат (схема 8’) ортогональный квадрату (С) и квадрату, построенному в схеме 8.