Построение конечных геометрий порядка 4 и 5 с использованием латинских квадратов, страница 6

     (А)                  (В)                  (С)                  (D)

                                                рис. 29

Теперь наша задача состоит в нахождении системы ортогональных латинских квадратов порядка 4, которая, согласно замечанию, изложенному в данной главе, состоит из трех квадратов.

Попытаемся найти квадрат ортогональный квадрату (А) (схема 5).

Пусть ячейки первого столбца латинского квадрата 4 - го порядка последовательно заняты элементами 0, 1, 2, 3. Тогда, при наложении данного квадрата на квадрат (А) получим упорядоченные пары 00, 11, 22, 33. В первой строке заполняемого квадрата на второй позиции элемент 1 стоять не может. В противном случае, при наложении квадратов мы получили бы вторую упорядоченную пару 11, что противоречит определению ортогональных латинских квадратов. Элемент 0 уже присутствует в первой ячейке данной строки, поэтому мы не имеем право использовать его еще раз для заполнения этой строки. Но вторую позицию могут занять как элемент 2, так и элемент 3. Рассмотрим оба случая.

 Помещаем во вторую ячейку элемент 2. При наложении заполняемого квадрата на квадрат (А) получим упорядоченную пару 12.