Другие предметы \ Основы теории надежности

Теория контроля контактных схем, страница 9

и . Если , то буквы и несовместимы и для всякой конъюнкции ЭНФ, содержащей букву , найдется конъюнкция, которую можно получить из первой путем замены на . Отсюда следует, что и

. (3.16)

Т а б л и ц а 3.11

Отношение между контактами	Отношение между неисправностями

Из (3.10) и (3.16) имеем: , то есть . В этом случае контакты и включены параллельно и их отказы типа «короткое замыкание» эквивалентны. В схеме рис. 3.1 имеем: , .

Пусть , . Тогда = {1, 2}, = {3, 4} (см. формулу (3.3)) и

Если , то буквы a и b несовместимы и для всякой конъюнкции ЭНФ, содержащей букву a, найдется конъюнкция, содержащая букву b и все буквы, составляющие первую конъюнкцию (кроме a), а также некоторое множество других букв. Отсюда следует, что и

. (3.17)

Из (3.10) и (3.17) имеем: , то есть . В схеме рис. 3.1: , . Пусть , . Тогда , и

Из соображений двойственности следует: 1) если , то ; 2) если , то . В схеме рис. 1.3 имеем: , , . Поэтому , , .

Рассмотренные отношения между неисправностями отдельных контактов обобщаются на случай произвольных кратных неисправностей контактов следующей теоремой [26].

Теорема 3.1. Для того, чтобы достаточно одновременного выполнения следующих условий:

1) ;

2) ;

;

Доказательство. Так как (3.9), то достаточно доказать справедливость импликаций

и . (3.18)

Достаточно доказать только одну из импликаций (например, вторую), так как условия теоремы двойственны относительно ЭНФ и ОЭНФ. Функции рассчитываются по формуле (3.10). Покажем, что

, (3.19)

откуда из (3.10) следует (3.18).

Пусть

и существуют отношения: , , ... , , , ... , . Рассмотрим конъюнкцию , где – часть конъюнкции, состоящая из букв . Чтобы доказать (3.19), надо показать, что

, (3.20)

где – функция, реализуемая конъюнкцией .

Пусть , где , . Так как , то на основании свойства этого отношения букв можно утверждать, что в ЭНФ существует конъюнкция такая, что . Знак включения означает здесь, что конъюнкция является частью конъюнкции . Пусть , где , , . Тогда в ЭНФ входит конъюнкция . Так как , то в ЭНФ существует конъюнкция такая, что . Пусть , где , , . Тогда в ЭНФ входит конъюнкция . Продолжая аналогичные рассуждения относительно всех букв, связанных отношением , получаем, что в ЭНФ входит конъюнкция , где . Так как , то на основании свойства отношения замены можно утверждать, что в ЭНФ существует конъюнкция . Аналогично, так как , то существует конъюнкция . Обозначим ее через .

Покажем теперь, что . Для этого достаточно показать, что неисправность не фиксирует в 0 буквы конъюнкции . Предположим обратное, т.е. что среди букв конъюнкции существует буква , которая фиксируется в 0 неисправностью и, следовательно, . Тогда буквы , входящие в множество , совместимы с буквой . С другой стороны, буква не находится в отношении эквивалентности с буквами множества , так как и (в противном случае в конъюнкцию входила бы буква ). Таким образом, принятое предположение противоречит четвертому условию теоремы.