Принцип действия и классификация турбинных ступеней., страница 11

Примем за контрольную массу количество рабочей среды, заклю­ченной в пределах венца облопачивания. Объем контрольной массы ог­раничен кольцевыми контрольными поверхностями ab и cd соответст­венно перед венцом и за ним, внутренними и наружными торцевыми по­верхностями межлопаточных каналов и поверхностями самих лопаток. Поверхности ab и cd перпендикулярны к оси z (рис.14).

Сделаем следующие допущения:

- на контрольных поверхностях ab и cd окружные составляющие касательных напряжений равны нулю;

- венец считается полностью уплотненным, т.е. между контрольными сечениями протечек рабочей среды нет;

- степень впуска ;

- в системе координат, связан­ной с венцом, поток является установившимся;

- течение в венце считается одномерным, среда - однородной в контрольных сечениях.

Рис.14. Схема лопаточного венца в меридиональной плоскости: ab, cd - следы кольцевых контрольных поверхностей

Используя метод Лагранжа, прос­ледим за изменением количества движения и момента количест­ва движения  контрольной мас­сы за бесконечно малый промежу­ток времени  dt.

За этот промежуток времени контрольная масса переместится вдоль по потоку. Соответственно контрольные поверхности ab и cd переместятся и займут положения a'b' и c'd'.

В начальный момент времени t количество движения  (abcd, t) контрольной массы, заключенной в объеме между поверхностями ab и cd, можно представить как сумму:

                                 .                          (19)

Здесь в правой части записаны количества движения частей контроль­ной массы в объеме между поверхностями ab и b'а' и соответствен­но а'b' и cd . Аналогично момент количества движения для момента времени t:

                         .                       (20)

Подобным же образом для момента времени t + dt:

                         ,          (21)

                    .    (22)

Изменение количества движения рассматриваемой контрольной массы рабочего тела d() находим как разность количеств движения в моменты времени t и t + dt. Используя выражения (19) и (21), получим:

. (23)

В начальный момент времени t конечный момент t + dt в объеме a'b'cd будут содержаться различные частицы, но в связи со стационарностью движения все параметры во всех точках этого объе­ма, равно как его масса и количество движения, в эти разные момен­ты времени будут одинаковыми. Поэтому

.

В силу упомянутой стационарности движения оставшиеся члены в вы­ражении (23) не будут зависеть от времени.

Учитывая сказанное, можно записать:

                                         .                                (24)

Аналогично определится и изменение  за промежуток времени dt:

                                   .                            (25)

Используя допущение об одномерности потока, отнесем все искомые величины к среднему радиусу рассматриваемого лопаточного венца.

Обозначим массовый расход рабочей среды через венец за едини­цу времени G. Тогда масса среды, прошедшая через контрольную поверхность cd за время dt, .

Эта масса займет кольцевой объем dcc'd'. В силу стационар­ности движения именно такая масса должна содержаться и в объеме abb'a'.

Разложим произвольно расположенные вектора d() и d() на составляющие относительно осей z и u. Наличие проекций векто­ров на направление радиуса не будем принимать во внимание, поскольку в ступенях с полным подводом рабочей среда их влияние не прояв­ляется.

Учитывая одномерность потока и обозначая величины, относящие­ся к контрольным поверхностям на входе в венец индексом «вх», а на выходе из венца - индексом «вых», записываем относительно оси z:

.

Поэтому в соответствии с выражением (24):

                                                                          (26)

                                        .                                  (27)

где  и   - проекции вектора скорости соответственно на направления z и u.

Аналогично, учитывая смысл понятия и исходя из выражения (25), получаем:

                                             (28)

                                  .                  (29)