Конспект лекций по дисциплине "Высшая математика", страница 27

Если аргумент функции у(х) принимает только целые положительные (натуральные) значения, то говорим о числовой последовательности.

Пример     

Пишем:  .

Определение  Функция у(х) ограничена в интервале , если существует такое число , что для всех   .

Таким образом, все значения ограниченной на  функции расположены в полосе . В противном случае, если у(х) неограничена в интервале , то , М – любое число.

Функция у(х) ограничена в интервале , если для любого  , где А, В – некоторые конечные числа.

Примеры: , ,  и т.п.

Определение  Функция  называется бесконечно малой при  или при , если   или .

Из определения предела следует, что если, например, , то это значит, что для любого  существует такое , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Бесконечно малую функцию  называют также бесконечно малой величиной или просто бесконечно малой.

, т.е. функция  при   является бесконечно малой.

2)   

, т.е. функция  при   есть бесконечно малая.

Свойства бесконечно малых

Пусть  и  – бесконечно малые функции при , f(x) - ограниченная функция в окрестности точки х = а, .

Тогда при : 1)  – бесконечно малая;

            2)  – бесконечно малая при ;